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Step * 1 1 1 3 2 2 2 of Lemma Euclid-Prop21


1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. a leftof bc
7. d leftof bc
8. d leftof ca
9. d leftof ab
10. a leftof bd
11. c leftof db
12. x : Point
13. a-x-c
14. b-d-x
15. |bx| < |ba| + |ax|
16. |bx| + |xc| < |ba| + |ac|
17. |cd| < |cx| + |xd|
18. |cd| + |db| < |cx| + |xb|
19. |cd| + |db| < |ba| + |ac|
⊢ {|cd| + |bd| < |ba| + |ac| ∧ bac < bdc}
BY
{ ((Assert cxb < bdc BY
          ((InstLemma `Euclid-prop16` [⌜g⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜d⌝;⌜b⌝]⋅ THEN Auto)
           THEN (FLemma `geo-lt-angle-symm` [-2] THEN Auto)
           THEN (FLemma `geo-lt-angle-symm2` [-1] THEN Auto)
           THEN (InstLemma `out-preserves-angle-cong_1` [⌜g⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜d⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜d⌝;⌜c⌝;⌜d⌝;⌜c⌝;⌜b⌝]⋅ THEN EAuto 1)
           THEN InstLemma `geo-cong-angle-preserves-lt-angle` [⌜g⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜d⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜b⌝;⌜b⌝;⌜d⌝;⌜c⌝]⋅
           THEN Auto))
   THEN (Assert bac < cxb BY
               ((InstLemma `Euclid-prop16` [⌜g⌝;⌜b⌝;⌜a⌝;⌜x⌝;⌜c⌝]⋅ THEN Auto)
                THEN (FLemma `geo-lt-angle-symm` [-2] THEN Auto)
                THEN (FLemma `geo-lt-angle-symm2` [-1] THEN Auto)
                THEN (InstLemma `out-preserves-angle-cong_1` [⌜g⌝;⌜b⌝;⌜a⌝;⌜x⌝;⌜b⌝;⌜a⌝;⌜x⌝;⌜b⌝;⌜x⌝;⌜b⌝;⌜c⌝]⋅
                      THEN EAuto 1
                      )
                THEN InstLemma `geo-cong-angle-preserves-lt-angle` [⌜g⌝;⌜b⌝;⌜a⌝;⌜x⌝;⌜b⌝;⌜a⌝;⌜c⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜b⌝]⋅
                THEN Auto))
   THEN InstLemma `geo-lt-angle-trans` [⌜g⌝;⌜b⌝;⌜a⌝;⌜c⌝;⌜c⌝;⌜x⌝;⌜b⌝;⌜b⌝;⌜d⌝;⌜c⌝]⋅
   THEN Auto) }

1
1. g : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. d : Point
6. a leftof bc
7. d leftof bc
8. d leftof ca
9. d leftof ab
10. a leftof bd
11. c leftof db
12. x : Point
13. a-x-c
14. b-d-x
15. |bx| < |ba| + |ax|
16. |bx| + |xc| < |ba| + |ac|
17. |cd| < |cx| + |xd|
18. |cd| + |db| < |cx| + |xb|
19. |cd| + |db| < |ba| + |ac|
20. cxb < bdc
21. bac < cxb
22. bac < bdc
⊢ {|cd| + |bd| < |ba| + |ac| ∧ bac < bdc}

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Latex:

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Latex:

1.  g  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  d  :  Point
6.  a  leftof  bc
7.  d  leftof  bc
8.  d  leftof  ca
9.  d  leftof  ab
10.  a  leftof  bd
11.  c  leftof  db
12.  x  :  Point
13.  a-x-c
14.  b-d-x
15.  |bx|  <  |ba|  +  |ax|
16.  |bx|  +  |xc|  <  |ba|  +  |ac|
17.  |cd|  <  |cx|  +  |xd|
18.  |cd|  +  |db|  <  |cx|  +  |xb|
19.  |cd|  +  |db|  <  |ba|  +  |ac|
\mvdash{}  \{|cd|  +  |bd|  <  |ba|  +  |ac|  \mwedge{}  bac  <  bdc\}


By

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Latex:
((Assert  cxb  <  bdc  BY
                ((InstLemma  `Euclid-prop16`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                  THEN  (FLemma  `geo-lt-angle-symm`  [-2]  THEN  Auto)
                  THEN  (FLemma  `geo-lt-angle-symm2`  [-1]  THEN  Auto)
                  THEN  (InstLemma  `out-preserves-angle-cong\_1`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                              THEN  EAuto  1
                              )
                  THEN  InstLemma  `geo-cong-angle-preserves-lt-angle`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}
                  ]\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  bac  <  cxb  BY
                          ((InstLemma  `Euclid-prop16`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  (FLemma  `geo-lt-angle-symm`  [-2]  THEN  Auto)
                            THEN  (FLemma  `geo-lt-angle-symm2`  [-1]  THEN  Auto)
                            THEN  (InstLemma  `out-preserves-angle-cong\_1`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};
                                        \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                        THEN  EAuto  1
                                        )
                            THEN  InstLemma  `geo-cong-angle-preserves-lt-angle`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};
                            \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                            THEN  Auto))
  THEN  InstLemma  `geo-lt-angle-trans`  [\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

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