---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma ip-inner-Pasch1


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. r0 ≤ t
12. t ≤ r1
13. q ≡ t*b + r1 - t*c
14. s : ℝ
15. r0 ≤ s
16. s ≤ r1
17. p ≡ s*a + r1 - s*c
18. s < r1
19. r0 < (r1 - s * t)
20. u : ℝ
21. (t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ
22. v : ℝ
23. (s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ
24. ((r1 - u) * s) = v
25. ((r1 - v) * t) = u
26. (s * u) = (s - v)
27. (t * v) = (t - u)
28. ((r1 - u) * (r1 - s)) = ((r1 - v) * (r1 - t))
⊢ (u ∈ [r0, r1])
⇒ (v ∈ [r0, r1))
⇒ (∃x:Point
     (a_x_q
     ∧ b_x_p
     ∧ (a # q ⇒ x # a)
     ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
     ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
     ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p)))
BY
{ ((Assert v*a + r1 - v*q ≡ u*b + r1 - u*p BY
          ((RWO "13 17" 0 THENA Auto)
           THEN (RWW "rv-mul-linear rv-mul-mul -5 -4 -1" 0⋅ THENA Auto)
           THEN (GenConclTerm ⌜(r1 - v) * (r1 - t)⌝⋅ THENA Auto)
           THEN RealVecEqual
           THEN Auto))
   THEN Auto
   ) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. r0 ≤ t
12. t ≤ r1
13. q ≡ t*b + r1 - t*c
14. s : ℝ
15. r0 ≤ s
16. s ≤ r1
17. p ≡ s*a + r1 - s*c
18. s < r1
19. r0 < (r1 - s * t)
20. u : ℝ
21. (t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ
22. v : ℝ
23. (s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ
24. ((r1 - u) * s) = v
25. ((r1 - v) * t) = u
26. (s * u) = (s - v)
27. (t * v) = (t - u)
28. ((r1 - u) * (r1 - s)) = ((r1 - v) * (r1 - t))
29. v*a + r1 - v*q ≡ u*b + r1 - u*p
30. u ∈ [r0, r1]
31. v ∈ [r0, r1)
⊢ ∃x:Point
   (a_x_q
   ∧ b_x_p
   ∧ (a # q ⇒ x # a)
   ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
   ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
   ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  p  :  Point
6.  q  :  Point
7.  a  \#  p
8.  b  \#  c
9.  a  \#  c
10.  t  :  \mBbbR{}
11.  r0  \mleq{}  t
12.  t  \mleq{}  r1
13.  q  \mequiv{}  t*b  +  r1  -  t*c
14.  s  :  \mBbbR{}
15.  r0  \mleq{}  s
16.  s  \mleq{}  r1
17.  p  \mequiv{}  s*a  +  r1  -  s*c
18.  s  <  r1
19.  r0  <  (r1  -  s  *  t)
20.  u  :  \mBbbR{}
21.  (t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  u
22.  v  :  \mBbbR{}
23.  (s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  v
24.  ((r1  -  u)  *  s)  =  v
25.  ((r1  -  v)  *  t)  =  u
26.  (s  *  u)  =  (s  -  v)
27.  (t  *  v)  =  (t  -  u)
28.  ((r1  -  u)  *  (r1  -  s))  =  ((r1  -  v)  *  (r1  -  t))
\mvdash{}  (u  \mmember{}  [r0,  r1])
{}\mRightarrow{}  (v  \mmember{}  [r0,  r1))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:Point
          (a\_x\_q
          \mwedge{}  b\_x\_p
          \mwedge{}  (a  \#  q  {}\mRightarrow{}  x  \#  a)
          \mwedge{}  ((a  \#  q  \mwedge{}  p  \#  c  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  q)
          \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  b)
          \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  q  \#  c)  {}\mRightarrow{}  x  \#  p)))


By

---

Latex:
((Assert  v*a  +  r1  -  v*q  \mequiv{}  u*b  +  r1  -  u*p  BY
                ((RWO  "13  17"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (RWW  "rv-mul-linear  rv-mul-mul  -5  -4  -1"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}(r1  -  v)  *  (r1  -  t)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  RealVecEqual
                  THEN  Auto))
  THEN  Auto
  )

---

Home Index