---

Step * 2 1 1 2 1 of Lemma ip-line-circle-lemma


1. rv : InnerProductSpace
2. r : ℝ
3. p : Point
4. ||p|| ≤ r
5. v : Point
6. r0 < ||v||
7. r0 ≤ (p ⋅ v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
8. r0 ≤ (((r(2) * p ⋅ v) * r(2) * p ⋅ v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
⊢ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
BY
{ ((Assert r0 < ||v||^2 BY
          (BLemma `rnexp-positive` THEN Auto))
   THEN Assert ⌜∀t:ℝ. (||p + t*v|| = r ⇐⇒ ((v^2 * t^2) + ((r(2) * p ⋅ v) * t) + (||p||^2 - r^2)) = r0)⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. r : ℝ
3. p : Point
4. ||p|| ≤ r
5. v : Point
6. r0 < ||v||
7. r0 ≤ (p ⋅ v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
8. r0 ≤ (((r(2) * p ⋅ v) * r(2) * p ⋅ v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
9. r0 < ||v||^2
⊢ ∀t:ℝ. (||p + t*v|| = r ⇐⇒ ((v^2 * t^2) + ((r(2) * p ⋅ v) * t) + (||p||^2 - r^2)) = r0)

2
1. rv : InnerProductSpace
2. r : ℝ
3. p : Point
4. ||p|| ≤ r
5. v : Point
6. r0 < ||v||
7. r0 ≤ (p ⋅ v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
8. r0 ≤ (((r(2) * p ⋅ v) * r(2) * p ⋅ v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
9. r0 < ||v||^2
10. ∀t:ℝ. (||p + t*v|| = r ⇐⇒ ((v^2 * t^2) + ((r(2) * p ⋅ v) * t) + (||p||^2 - r^2)) = r0)
⊢ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  p  :  Point
4.  ||p||  \mleq{}  r
5.  v  :  Point
6.  r0  <  ||v||
7.  r0  \mleq{}  (p  \mcdot{}  v\^{}2  -  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
8.  r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  *  r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
\mvdash{}  (||p  +  quadratic1(||v||\^{}2;r(2)  *  p  \mcdot{}  v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)
\mwedge{}  (||p  +  quadratic2(||v||\^{}2;r(2)  *  p  \mcdot{}  v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  ||v||\^{}2  BY
                (BLemma  `rnexp-positive`  THEN  Auto))
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}t:\mBbbR{}
                                (||p  +  t*v||  =  r  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ((v\^{}2  *  t\^{}2)  +  ((r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  *  t)  +  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))  =  r0)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index