---

Step * 2 1 1 2 1 1 of Lemma ip-line-circle-lemma

.....assertion..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. r : ℝ
3. p : Point
4. ||p|| ≤ r
5. v : Point
6. r0 < ||v||
7. r0 ≤ (p ⋅ v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
8. r0 ≤ (((r(2) * p ⋅ v) * r(2) * p ⋅ v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
9. r0 < ||v||^2
⊢ ∀t:ℝ. (||p + t*v|| = r ⇐⇒ ((v^2 * t^2) + ((r(2) * p ⋅ v) * t) + (||p||^2 - r^2)) = r0)
BY
{ ((Assert r0 ≤ ||p|| BY
          Auto)
   THEN (Assert r0 ≤ r BY
               Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (RWW "rv-norm-eq-iff rv-ip-add-squared rv-ip-mul2 rv-ip-mul" 0 THENA Auto)
   THEN (RWW "rmul-assoc rnexp2< rv-norm-squared" 0 THENA Auto)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  p  :  Point
4.  ||p||  \mleq{}  r
5.  v  :  Point
6.  r0  <  ||v||
7.  r0  \mleq{}  (p  \mcdot{}  v\^{}2  -  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
8.  r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  *  r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
9.  r0  <  ||v||\^{}2
\mvdash{}  \mforall{}t:\mBbbR{}.  (||p  +  t*v||  =  r  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ((v\^{}2  *  t\^{}2)  +  ((r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  *  t)  +  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))  =  r0)


By

---

Latex:
((Assert  r0  \mleq{}  ||p||  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  r  BY
                          Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWW  "rv-norm-eq-iff  rv-ip-add-squared  rv-ip-mul2  rv-ip-mul"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWW  "rmul-assoc  rnexp2<  rv-norm-squared"  0  THENA  Auto)
  THEN  Auto)

---

Home Index