---

Step * 1 1 2 3 2 1 1 of Lemma real-subset-connected-lemma


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. (fst(h[0])) < (snd(h[0]))
13. ∀n:ℕ
      ((↑(a (fst(h[n]))))
      ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
      ∧ let a,b = h[n] 
        in ∃p:{x:ℝ| X x} 
            (((a < p) ∧ (p < b))
            ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
              ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. 1 ≤ 2^(n - 1)
17. ↑(a (fst(h[n - 1])))
18. ↑(b (snd(h[n - 1])))
19. v : {x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} 
20. h[n - 1] = v ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
21. r0≤(snd(v)) - fst(v)≤(r(2)/r(3))^n - 1 * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))
22. let a,b = v 
    in ∃p:{x:ℝ| X x} 
        (((a < p) ∧ (p < b))
        ∧ (((h[n] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
          ∨ ((h[n] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))))
⊢ r0≤(snd(h[n])) - fst(h[n])≤(r(2)/r(3))^n * ((snd(h[0])) - fst(h[0]))
BY
{ (DVar `v'
   THEN Reduce -1
   THEN ExRepD
   THEN D -1
   THEN ExRepD
   THEN (HypSubst' (-2) 0 THENA Auto)
   THEN All Reduce
   THEN (ParallelOp -6 THEN Auto)
   THEN RWO "-2" 0
   THEN Auto
   THEN (InstLemma `rnexp_step` [⌜(r(2)/r(3))⌝;⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)
   THEN (Assert r0 < (r(2)/r(3)) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN MoveToConcl (-8)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜(r(2)/r(3))⌝;⌜v2 - v1⌝ ;⌜(snd(h[0])) - fst(h[0])⌝]⋅
   THEN Auto
   THEN nRMul ⌜v⌝ (-2)⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
11.  h  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  )
12.  (fst(h[0]))  <  (snd(h[0]))
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            ((\muparrow{}(a  (fst(h[n]))))
            \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(h[n]))))
            \mwedge{}  let  a,b  =  h[n] 
                in  \mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                        (((a  <  p)  \mwedge{}  (p  <  b))
                        \mwedge{}  (((h[n  +  1]  =  <a,  p>)  \mwedge{}  ((p  -  a)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))
                            \mvee{}  ((h[n  +  1]  =  <p,  b>)  \mwedge{}  ((b  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a)))))))
14.  n  :  \mBbbZ{}
15.  0  <  n
16.  1  \mleq{}  2\^{}(n  -  1)
17.  \muparrow{}(a  (fst(h[n  -  1])))
18.  \muparrow{}(b  (snd(h[n  -  1])))
19.  v  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
20.  h[n  -  1]  =  v
21.  r0\mleq{}(snd(v))  -  fst(v)\mleq{}(r(2)/r(3))\^{}n  -  1  *  ((snd(h[0]))  -  fst(h[0]))
22.  let  a,b  =  v 
        in  \mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                (((a  <  p)  \mwedge{}  (p  <  b))
                \mwedge{}  (((h[n]  =  <a,  p>)  \mwedge{}  ((p  -  a)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))
                    \mvee{}  ((h[n]  =  <p,  b>)  \mwedge{}  ((b  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))))
\mvdash{}  r0\mleq{}(snd(h[n]))  -  fst(h[n])\mleq{}(r(2)/r(3))\^{}n  *  ((snd(h[0]))  -  fst(h[0]))


By

---

Latex:
(DVar  `v'
  THEN  Reduce  -1
  THEN  ExRepD
  THEN  D  -1
  THEN  ExRepD
  THEN  (HypSubst'  (-2)  0  THENA  Auto)
  THEN  All  Reduce
  THEN  (ParallelOp  -6  THEN  Auto)
  THEN  RWO  "-2"  0
  THEN  Auto
  THEN  (InstLemma  `rnexp\_step`  [\mkleeneopen{}(r(2)/r(3))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  (r(2)/r(3))  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-8)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}(r(2)/r(3))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v2  -  v1\mkleeneclose{}  ;\mkleeneopen{}(snd(h[0]))  -  fst(h[0])\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index