---

Step * 1 2 1 2 2 1 of Lemma satisfies-gcd-reduce-ineq-constraints


1. n : ℕ+
2. v : ℤ List
3. ||[1 / v]|| = n ∈ ℤ
4. u : ℤ
5. v2 : ℤ List
6. ||[u / v2]|| = n ∈ ℤ
7. v1 : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
8. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((∀as∈sat.[1 / v] ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v1.[1 / v] ⋅ as ≥0)
     ⇒ ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v1))) ∧ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v1)).[1 / v] ⋅ as ≥0)))
9. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
10. (∀as∈sat.[1 / v] ⋅ as ≥0)
11. (∀as∈[[u / v2] / v1].[1 / v] ⋅ as ≥0)
12. ↑null(v2)
⊢ (↑isl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u / v2] / sat])
        in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                 in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                    otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                              if (1) < (g)
                                                 then eval h' = h ÷↓ g in
                                                      eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                        inl [[h' / t'] / Ls]
                                                 else (inl [L / Ls]);s';v1)))
∧ (∀as∈outl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u / v2] / sat])
            in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                     in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                        otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                  if (1) < (g)
                                                     then eval h' = h ÷↓ g in
                                                          eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                            inl [[h' / t'] / Ls]
                                                     else (inl [L / Ls]);s';v1)).[1 / v] ⋅ as ≥0)
BY
{ (D 5
   THEN All Reduce
   THEN Try (Trivial)
   THEN Eliminate ⌜n⌝⋅
   THEN ((DVar `v' THEN All Reduce) THENL [Thin (-1); ((Assert 0 ≤ ||v|| BY Auto) THEN Auto)])) }

1
1. n : ℕ+
2. 1 = n ∈ ℤ
3. u : ℤ
4. 1 = 1 ∈ ℤ
5. v1 : {L:ℤ List| ||L|| = 1 ∈ ℤ}  List
6. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = 1 ∈ ℤ}  List
     ((∀as∈sat.[1] ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v1.[1] ⋅ as ≥0)
     ⇒ ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v1))) ∧ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v1)).[1] ⋅ as ≥0)))
7. sat : {L:ℤ List| ||L|| = 1 ∈ ℤ}  List
8. (∀as∈sat.[1] ⋅ as ≥0)
9. (∀as∈[[u] / v1].[1] ⋅ as ≥0)
⊢ (↑isl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u] / sat])
        in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                 in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                    otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                              if (1) < (g)
                                                 then eval h' = h ÷↓ g in
                                                      eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                        inl [[h' / t'] / Ls]
                                                 else (inl [L / Ls]);s';v1)))
∧ (∀as∈outl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u] / sat])
            in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                     in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                        otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                  if (1) < (g)
                                                     then eval h' = h ÷↓ g in
                                                          eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                            inl [[h' / t'] / Ls]
                                                     else (inl [L / Ls]);s';v1)).[1] ⋅ as ≥0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  v  :  \mBbbZ{}  List
3.  ||[1  /  v]||  =  n
4.  u  :  \mBbbZ{}
5.  v2  :  \mBbbZ{}  List
6.  ||[u  /  v2]||  =  n
7.  v1  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
8.  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
          ((\mforall{}as\mmember{}sat.[1  /  v]  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}v1.[1  /  v]  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
          {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v1)))
                \mwedge{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v1)).[1  /  v]  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)))
9.  sat  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
10.  (\mforall{}as\mmember{}sat.[1  /  v]  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
11.  (\mforall{}as\mmember{}[[u  /  v2]  /  v1].[1  /  v]  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
12.  \muparrow{}null(v2)
\mvdash{}  (\muparrow{}isl(let  s'  \mleftarrow{}{}  if  (u)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [[u  /  v2]  /  sat])
                in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                  in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [L  /  Ls])
                                                                        otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                            if  (1)  <  (g)
                                                                                                  then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                                            eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                                                inl  [[h'  /  t']  /  Ls]
                                                                                                  else  (inl  [L  /  Ls]);s';v1)))
\mwedge{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(let  s'  \mleftarrow{}{}  if  (u)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [[u  /  v2]  /  sat])
                        in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                          in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)
                                                                                                                    then  inr  \mcdot{} 
                                                                                                                    else  (inl  [L  /  Ls])
                                                                                otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                                    if  (1)  <  (g)
                                                                                                          then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                                                    eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                                                        inl  [[h'  /  t']  /  Ls]
                                                                                                          else  (inl  [L  /  Ls]);s';v1)).[1  /  v]  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)


By

---

Latex:
(D  5
  THEN  All  Reduce
  THEN  Try  (Trivial)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  ((DVar  `v'  THEN  All  Reduce)  THENL  [Thin  (-1);  ((Assert  0  \mleq{}  ||v||  BY  Auto)  THEN  Auto)]))

---

Home Index