---

Step * 2 1 1 2 2 2 2 1 1 of Lemma satisfies-gcd-reduce-ineq-constraints


1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs||
4. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
5. u : ℤ
6. v1 : ℤ List
7. ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
8. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
9. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
10. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
11. ¬↑null(v1)
12. gg : ℤ
13. |gcd-list(v1)| = gg ∈ ℤ
14. 1 < gg
15. [u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ∈ ℤ List+
16. ↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))
17. ∀as:ℤ List+. ((as ∈ outl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))) ⇒ xs ⋅ as ≥0)
⊢ xs ⋅ [u / v1] ≥0
BY
{ (Assert xs ⋅ [u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ≥0 BY
         BHyp -1) }

1
.....aux..... 
1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs||
4. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
5. u : ℤ
6. v1 : ℤ List
7. ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
8. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
9. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
10. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
11. ¬↑null(v1)
12. gg : ℤ
13. |gcd-list(v1)| = gg ∈ ℤ
14. 1 < gg
15. [u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ∈ ℤ List+
16. ↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))
17. ∀as:ℤ List+. ((as ∈ outl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))) ⇒ xs ⋅ as ≥0)
⊢ [u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ∈ ℤ List+

2
.....aux..... 
1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs||
4. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
5. u : ℤ
6. v1 : ℤ List
7. ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
8. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
9. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
10. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
11. ¬↑null(v1)
12. gg : ℤ
13. |gcd-list(v1)| = gg ∈ ℤ
14. 1 < gg
15. [u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ∈ ℤ List+
16. ↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))
17. ∀as:ℤ List+. ((as ∈ outl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))) ⇒ xs ⋅ as ≥0)
⊢ ([u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ∈ outl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v)))

3
1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs||
4. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
5. u : ℤ
6. v1 : ℤ List
7. ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
8. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
9. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
10. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
11. ¬↑null(v1)
12. gg : ℤ
13. |gcd-list(v1)| = gg ∈ ℤ
14. 1 < gg
15. [u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ∈ ℤ List+
16. ↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))
17. ∀as:ℤ List+. ((as ∈ outl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))) ⇒ xs ⋅ as ≥0)
18. xs ⋅ [u ÷↓ gg / map(λx.(x ÷ gg);v1)] ≥0
⊢ xs ⋅ [u / v1] ≥0

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  xs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\} 
3.  0  <  ||xs||
4.  hd(xs)  =  1
5.  u  :  \mBbbZ{}
6.  v1  :  \mBbbZ{}  List
7.  ||[u  /  v1]||  =  n
8.  v  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
9.  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
          ((\muparrow{}isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}v.xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0))
10.  sat  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
11.  \mneg{}\muparrow{}null(v1)
12.  gg  :  \mBbbZ{}
13.  |gcd-list(v1)|  =  gg
14.  1  <  gg
15.  [u  \mdiv{}\mdownarrow{}  gg  /  map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)]  \mmember{}  \mBbbZ{}  List\msupplus{}
16.  \muparrow{}isl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u  \mdiv{}\mdownarrow{}  gg  /  map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)]  /  sat];v))
17.  \mforall{}as:\mBbbZ{}  List\msupplus{}
            ((as  \mmember{}  outl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u  \mdiv{}\mdownarrow{}  gg  /  map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)]  /  sat];v)))
            {}\mRightarrow{}  xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
\mvdash{}  xs  \mcdot{}  [u  /  v1]  \mgeq{}0


By

---

Latex:
(Assert  xs  \mcdot{}  [u  \mdiv{}\mdownarrow{}  gg  /  map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)]  \mgeq{}0  BY
              BHyp  -1)

---

Home Index