---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma fps-moebius-eq


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
11. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
12. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
13. bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ
14. Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(x)))
= int-to-ring(r;Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(x)))
∈ |r|
15. p : bag(X) × bag(X)
16. p ↓∈ [p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]
⊢ #(snd(p)) < n - 1
BY
{ TACTIC:(D -2 THEN BagMemberD (-1) THEN D -1 THEN BagMemberD (-2) THEN All Reduce) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
11. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
12. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
13. bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ
14. Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(x)))
= int-to-ring(r;Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(x)))
∈ |r|
15. p1 : bag(X)
16. p2 : bag(X)
17. (p1 + p2) = b ∈ bag(X)
18. ↑¬bbag-null(p1)
⊢ #(p2) < n - 1

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbZ{}
6.  0  <  n
7.  \mforall{}b:bag(X).  (\#(b)  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  (fps-div-coeff(eq;r;1;\mlambda{}b.1;1;b)  =  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))))
8.  b  :  bag(X)
9.  \mneg{}(b  =  \{\})
10.  \#(b)  <  n
11.  Assoc(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
12.  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
13.  bag-moebius(eq;b)  =  (-\mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(p)))
14.  \mSigma{}(x\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(x)))
=  int-to-ring(r;\mSigma{}(x\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(x)))
15.  p  :  bag(X)  \mtimes{}  bag(X)
16.  p  \mdownarrow{}\mmember{}  [p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]
\mvdash{}  \#(snd(p))  <  n  -  1


By

---

Latex:
TACTIC:(D  -2  THEN  BagMemberD  (-1)  THEN  D  -1  THEN  BagMemberD  (-2)  THEN  All  Reduce)

---

Home Index