---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 2 of Lemma fps-moebius-eq


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
11. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
12. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
13. bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ
14. Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(x)))
= int-to-ring(r;Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(x)))
∈ |r|
15. bb : bag({p:bag(X) × bag(X)| #(snd(p)) < n - 1} )
16. [p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))] = bb ∈ bag({p:bag(X) × bag(X)| #(snd(p)) < n - 1} )
⊢ Σ(p∈bb). fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))
= Σ(p∈bb). int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(p)))
∈ |r|
BY
{ TACTIC:(EqCD THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbZ{}
6.  0  <  n
7.  \mforall{}b:bag(X).  (\#(b)  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  (fps-div-coeff(eq;r;1;\mlambda{}b.1;1;b)  =  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))))
8.  b  :  bag(X)
9.  \mneg{}(b  =  \{\})
10.  \#(b)  <  n
11.  Assoc(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
12.  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
13.  bag-moebius(eq;b)  =  (-\mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(p)))
14.  \mSigma{}(x\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(x)))
=  int-to-ring(r;\mSigma{}(x\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(x)))
15.  bb  :  bag(\{p:bag(X)  \mtimes{}  bag(X)|  \#(snd(p))  <  n  -  1\}  )
16.  [p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]  =  bb
\mvdash{}  \mSigma{}(p\mmember{}bb).  fps-div-coeff(eq;r;\mlambda{}b.if  bag-null(b)  then  1  else  0  fi  ;\mlambda{}b.1;1;snd(p))
=  \mSigma{}(p\mmember{}bb).  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(p)))


By

---

Latex:
TACTIC:(EqCD  THEN  Auto)

---

Home Index