Nuprl Lemma : groupoid-cube-lemma

[G:Groupoid]. ∀[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))]. ∀[a:cat-arrow(cat(G)) x001 x011].
[b:cat-arrow(cat(G)) x011 x111]. ∀[c:cat-arrow(cat(G)) x001 x101]. ∀[d:cat-arrow(cat(G)) x101 x111].
[e:cat-arrow(cat(G)) x000 x010]. ∀[f:cat-arrow(cat(G)) x010 x110]. ∀[g:cat-arrow(cat(G)) x000 x100].
[h:cat-arrow(cat(G)) x100 x110]. ∀[i:cat-arrow(cat(G)) x000 x001]. ∀[j:cat-arrow(cat(G)) x010 x011].
[k:cat-arrow(cat(G)) x110 x111]. ∀[l:cat-arrow(cat(G)) x100 x101].
  uiff(a d;e h) supposing a ∧ b ∧ k ∧ l


Proof




Definitions occuring in Statement :  groupoid-cat: cat(G) groupoid: Groupoid cat-square-commutes: x_y1 y1_z x_y2 y2_z cat-arrow: cat-arrow(C) cat-ob: cat-ob(C) uiff: uiff(P;Q) uimplies: supposing a uall: [x:A]. B[x] and: P ∧ Q apply: a
Definitions unfolded in proof :  prop: cat-square-commutes: x_y1 y1_z x_y2 y2_z cand: c∧ B uiff: uiff(P;Q) uimplies: supposing a and: P ∧ Q member: t ∈ T uall: [x:A]. B[x]
Lemmas referenced :  groupoid_wf cat-ob_wf cat-arrow_wf and_wf groupoid-cat_wf cat-square-commutes_wf groupoid-cube
Rules used in proof :  applyEquality equalitySymmetry equalityTransitivity isect_memberEquality independent_pairEquality axiomEquality sqequalRule independent_isectElimination independent_pairFormation introduction productElimination hypothesisEquality thin isectElimination sqequalHypSubstitution hypothesis isect_memberFormation sqequalReflexivity computationStep sqequalTransitivity sqequalSubstitution lemma_by_obid cut

Latex:
\mforall{}[G:Groupoid].  \mforall{}[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))].
\mforall{}[a:cat-arrow(cat(G))  x001  x011].  \mforall{}[b:cat-arrow(cat(G))  x011  x111].
\mforall{}[c:cat-arrow(cat(G))  x001  x101].  \mforall{}[d:cat-arrow(cat(G))  x101  x111].
\mforall{}[e:cat-arrow(cat(G))  x000  x010].  \mforall{}[f:cat-arrow(cat(G))  x010  x110].
\mforall{}[g:cat-arrow(cat(G))  x000  x100].  \mforall{}[h:cat-arrow(cat(G))  x100  x110].
\mforall{}[i:cat-arrow(cat(G))  x000  x001].  \mforall{}[j:cat-arrow(cat(G))  x010  x011].
\mforall{}[k:cat-arrow(cat(G))  x110  x111].  \mforall{}[l:cat-arrow(cat(G))  x100  x101].
    uiff(a  o  b  =  c  o  d;e  o  f  =  g  o  h) 
    supposing  e  o  j  =  i  o  a  \mwedge{}  f  o  k  =  j  o  b  \mwedge{}  l  o  d  =  h  o  k  \mwedge{}  i  o  c  =  g  o  l



Date html generated: 2020_05_20-AM-07_56_04
Last ObjectModification: 2015_12_28-PM-02_23_15

Theory : small!categories


Home Index