Nuprl Lemma : approx-fixpoint-unit-ball-1
∀n:ℕ. ∀f:{f:B(n) ⟶ B(n)| 
          (∀e:{e:ℝ| r0 < e} . ∃del:{del:ℝ| r0 < del} . ∀x,y:B(n).  ((d(x;y) < del) 
⇒ (d(f x;f y) < e)))
          ∧ (¬(∀x:B(n). f x ≠ x))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
  ∃p:B(n). (↓d(f p;p) < e)
Proof
Definitions occuring in Statement : 
real-unit-ball: B(n)
, 
real-vec-sep: a ≠ b
, 
real-vec-dist: d(x;y)
, 
rless: x < y
, 
int-to-real: r(n)
, 
real: ℝ
, 
nat: ℕ
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
not: ¬A
, 
squash: ↓T
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
and: P ∧ Q
, 
set: {x:A| B[x]} 
, 
apply: f a
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
natural_number: $n
Definitions unfolded in proof : 
all: ∀x:A. B[x]
, 
member: t ∈ T
, 
nat: ℕ
, 
decidable: Dec(P)
, 
or: P ∨ Q
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
uimplies: b supposing a
, 
sq_type: SQType(T)
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
guard: {T}
, 
nat_plus: ℕ+
, 
ge: i ≥ j 
, 
not: ¬A
, 
satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla)
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
false: False
, 
top: Top
, 
and: P ∧ Q
, 
prop: ℙ
, 
squash: ↓T
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
subtype_rel: A ⊆r B
, 
sq_stable: SqStable(P)
, 
real-unit-ball: B(n)
, 
le: A ≤ B
, 
less_than': less_than'(a;b)
, 
rev_implies: P 
⇐ Q
, 
iff: P 
⇐⇒ Q
, 
ext-eq: A ≡ B
Lemmas referenced : 
decidable__equal_int, 
subtype_base_sq, 
int_subtype_base, 
approx-fixpoint-unit-ball-0-ext, 
nat_properties, 
decidable__lt, 
full-omega-unsat, 
intformand_wf, 
intformnot_wf, 
intformless_wf, 
itermConstant_wf, 
itermVar_wf, 
intformeq_wf, 
intformle_wf, 
istype-int, 
int_formula_prop_and_lemma, 
istype-void, 
int_formula_prop_not_lemma, 
int_formula_prop_less_lemma, 
int_term_value_constant_lemma, 
int_term_value_var_lemma, 
int_formula_prop_eq_lemma, 
int_formula_prop_le_lemma, 
int_formula_prop_wf, 
istype-less_than, 
sq_stable__ex_nat_plus, 
unit-ball-approx_wf, 
nat_plus_properties, 
decidable__le, 
istype-le, 
assert_wf, 
approx-ball-to-ball_wf, 
nat_plus_wf, 
decidable__exists-unit-ball-approx, 
nat_plus_subtype_nat, 
decidable__assert, 
squash_wf, 
rless_wf, 
real-vec-dist_wf, 
real_wf, 
int-to-real_wf, 
real-unit-ball_wf, 
real-vec-sep_wf, 
istype-nat, 
real-unit-ball-0, 
sq_stable__rless, 
subtype_rel_self, 
subtype_rel_set, 
real-vec_wf, 
rleq_wf, 
real-vec-norm_wf, 
nat_wf, 
set_subtype_base, 
le_wf, 
rless_functionality, 
real-vec-dist-dim0, 
req_weakening
Rules used in proof : 
sqequalSubstitution, 
sqequalTransitivity, 
computationStep, 
sqequalReflexivity, 
lambdaFormation_alt, 
cut, 
introduction, 
extract_by_obid, 
sqequalHypSubstitution, 
dependent_functionElimination, 
thin, 
setElimination, 
rename, 
hypothesisEquality, 
hypothesis, 
natural_numberEquality, 
unionElimination, 
instantiate, 
isectElimination, 
cumulativity, 
intEquality, 
independent_isectElimination, 
because_Cache, 
independent_functionElimination, 
dependent_set_memberEquality_alt, 
approximateComputation, 
dependent_pairFormation_alt, 
lambdaEquality_alt, 
int_eqEquality, 
isect_memberEquality_alt, 
voidElimination, 
sqequalRule, 
independent_pairFormation, 
universeIsType, 
productElimination, 
imageElimination, 
productEquality, 
applyEquality, 
imageMemberEquality, 
baseClosed, 
inhabitedIsType, 
equalityTransitivity, 
equalitySymmetry, 
setIsType, 
functionIsType, 
productIsType
Latex:
\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\{f:B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)| 
                    (\mforall{}e:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
                          \mexists{}del:\{del:\mBbbR{}|  r0  <  del\}  .  \mforall{}x,y:B(n).    ((d(x;y)  <  del)  {}\mRightarrow{}  (d(f  x;f  y)  <  e)))
                    \mwedge{}  (\mneg{}(\mforall{}x:B(n).  f  x  \mneq{}  x))\}  .  \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  .
    \mexists{}p:B(n).  (\mdownarrow{}d(f  p;p)  <  e)
Date html generated:
2019_10_30-AM-11_29_13
Last ObjectModification:
2019_07_30-PM-00_32_07
Theory : real!vectors
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