---

Step * 1 4 1 1 1 of Lemma rcos-seq-differences

.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. 0 < n
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. x : ℝ
5. x ∈ [rcos-seq(n - 1), rcos-seq(n)]
6. v : ℝ
7. rcos-seq(n) = v ∈ ℝ
8. v1 : ℝ
9. rcos-seq(n - 1) = v1 ∈ ℝ
⊢ rsin(v1) ≤ rsin(x)
BY
{ (InstLemma `derivative-implies-increasing` [⌜[r0, rcos-seq(n)]⌝;⌜λ2x.rsin(x)⌝;⌜λ2x.rcos(x)⌝]⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. n : ℕ
2. 0 < n
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. x : ℝ
5. x ∈ [rcos-seq(n - 1), rcos-seq(n)]
6. v : ℝ
7. rcos-seq(n) = v ∈ ℝ
8. v1 : ℝ
9. rcos-seq(n - 1) = v1 ∈ ℝ
⊢ iproper([r0, rcos-seq(n)])

2
.....antecedent..... 
1. n : ℕ
2. 0 < n
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. x : ℝ
5. x ∈ [rcos-seq(n - 1), rcos-seq(n)]
6. v : ℝ
7. rcos-seq(n) = v ∈ ℝ
8. v1 : ℝ
9. rcos-seq(n - 1) = v1 ∈ ℝ
⊢ d(rsin(x))/dx = λx.rcos(x) on [r0, rcos-seq(n)]

3
.....antecedent..... 
1. n : ℕ
2. 0 < n
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. x : ℝ
5. x ∈ [rcos-seq(n - 1), rcos-seq(n)]
6. v : ℝ
7. rcos-seq(n) = v ∈ ℝ
8. v1 : ℝ
9. rcos-seq(n - 1) = v1 ∈ ℝ
⊢ rcos(x) continuous for x ∈ [r0, rcos-seq(n)]

4
1. n : ℕ
2. 0 < n
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. x : ℝ
5. x ∈ [rcos-seq(n - 1), rcos-seq(n)]
6. v : ℝ
7. rcos-seq(n) = v ∈ ℝ
8. v1 : ℝ
9. rcos-seq(n - 1) = v1 ∈ ℝ
10. x1 : {x:ℝ| x ∈ [r0, rcos-seq(n)]} 
⊢ r0 ≤ rcos(x1)

5
1. n : ℕ
2. 0 < n
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. x : ℝ
5. x ∈ [rcos-seq(n - 1), rcos-seq(n)]
6. v : ℝ
7. rcos-seq(n) = v ∈ ℝ
8. v1 : ℝ
9. rcos-seq(n - 1) = v1 ∈ ℝ
10. rsin(x) increasing for x ∈ [r0, rcos-seq(n)]
⊢ rsin(v1) ≤ rsin(x)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  0  <  n
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  x  \mmember{}  [rcos-seq(n  -  1),  rcos-seq(n)]
6.  v  :  \mBbbR{}
7.  rcos-seq(n)  =  v
8.  v1  :  \mBbbR{}
9.  rcos-seq(n  -  1)  =  v1
\mvdash{}  rsin(v1)  \mleq{}  rsin(x)


By

---

Latex:
(InstLemma  `derivative-implies-increasing`  [\mkleeneopen{}[r0,  rcos-seq(n)]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.rsin(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.rcos(x)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  Auto
  )

---

Home Index