Nuprl Lemma : non-null-list-tactic-test

∀T:Type. ∀L:T List. ∀x:T.
  (((((((((0 < ||L|| ∨ (1 ≤ ||L||)) ∨ null(L) = ff) ∨ null(L) = ff) ∨ (¬↑null(L))) ∨ (¬(L = [] ∈ (T List))))
    ∨ (¬([] = L ∈ (T List))))
    ∨ (¬null(L) = tt))
  ∨ (∃x:T. (x ∈ L))
  ∨ (x ∈ L)
  ∨ (L = [x / L] ∈ (T List)))
  ⇒ (((((((1 ≤ ||L||) ∧ null(L) = ff) ∧ (null(L) ~ ff)) ∧ (¬↑null(L))) ∧ (¬(L = [] ∈ (T List)))) ∧ (∃x:T. (x ∈ L)))
     ∧ (0 ≤ ||L||)))


Proof



Definitions occuring in Statement :  l_member: (x ∈ l),  length: ||as||,  null: null(as),  cons: [a / b],  nil: [],  list: T List,  assert: ↑b,  bfalse: ff,  btrue: tt,  bool: 𝔹,  less_than: a < b,  le: A ≤ B,  all: ∀x:A. B[x],  exists: ∃x:A. B[x],  not: ¬A,  implies: P ⇒ Q,  or: P ∨ Q,  and: P ∧ Q,  natural_number: $n,  universe: Type,  sqequal: s ~ t,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  all: ∀x:A. B[x],  implies: P ⇒ Q,  or: P ∨ Q,  member: t ∈ T,  uall: ∀[x:A]. B[x],  prop: ℙ,  exists: ∃x:A. B[x],  and: P ∧ Q,  cand: A c∧ B,  decidable: Dec(P),  less_than: a < b,  squash: ↓T,  uimplies: b supposing a,  not: ¬A,  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  false: False,  top: Top,  le: A ≤ B,  less_than': less_than'(a;b),  true: True,  assert: ↑b,  ifthenelse: if b then t else f fi ,  bfalse: ff,  ge: i ≥ j ,  sq_type: SQType(T),  guard: {T},  cons: [a / b],  nat: ℕ,  iff: P ⇐⇒ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  uiff: uiff(P;Q),  sq_stable: SqStable(P),  subtract: n - m,  subtype_rel: A ⊆r B,  btrue: tt
Lemmas referenced :  less_than_wf,  length_wf,  le_wf,  bool_wf,  null_wf,  not_wf,  assert_wf,  equal-wf-T-base,  list_wf,  equal-wf-base-T,  l_member_wf,  cons_wf,  decidable__le,  full-omega-unsat,  intformand_wf,  intformnot_wf,  intformle_wf,  itermConstant_wf,  itermVar_wf,  intformless_wf,  istype-int,  int_formula_prop_and_lemma,  istype-void,  int_formula_prop_not_lemma,  int_formula_prop_le_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_formula_prop_less_lemma,  int_formula_prop_wf,  list-cases2,  length_of_nil_lemma,  null_cons_lemma,  bfalse_wf,  cons-not-nil,  hd_wf,  tl_wf,  nil_wf,  cons-has-member,  list-cases,  null_nil_lemma,  btrue_neq_bfalse,  subtype_base_sq,  bool_subtype_base,  product_subtype_list,  length_of_cons_lemma,  length_wf_nat,  istype-false,  not-le-2,  sq_stable__le,  condition-implies-le,  minus-add,  minus-one-mul,  add-swap,  minus-one-mul-top,  add-associates,  add-commutes,  add_functionality_wrt_le,  add-zero,  le-add-cancel2,  nat_properties,  itermAdd_wf,  int_term_value_add_lemma,  btrue_wf,  nil_member,  cons_neq_nil
Rules used in proof :  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  Error :lambdaFormation_alt,  sqequalRule,  Error :unionIsType,  Error :universeIsType,  cut,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalHypSubstitution,  isectElimination,  thin,  natural_numberEquality,  hypothesisEquality,  hypothesis,  Error :equalityIsType3,  baseClosed,  because_Cache,  Error :productIsType,  Error :inhabitedIsType,  Error :equalityIsType1,  universeEquality,  dependent_functionElimination,  unionElimination,  imageElimination,  productElimination,  independent_isectElimination,  approximateComputation,  independent_functionElimination,  Error :dependent_pairFormation_alt,  Error :lambdaEquality_alt,  int_eqEquality,  Error :isect_memberEquality_alt,  voidElimination,  independent_pairFormation,  cumulativity,  instantiate,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  promote_hyp,  hypothesis_subsumption,  setElimination,  rename,  addEquality,  imageMemberEquality,  applyEquality,  minusEquality,  sqequalIntensionalEquality
Latex:
\mforall{}T:Type.  \mforall{}L:T  List.  \mforall{}x:T.
    (((((((((0  <  ||L||  \mvee{}  (1  \mleq{}  ||L||))  \mvee{}  null(L)  =  ff)  \mvee{}  null(L)  =  ff)  \mvee{}  (\mneg{}\muparrow{}null(L)))  \mvee{}  (\mneg{}(L  =  [])))
        \mvee{}  (\mneg{}([]  =  L)))
        \mvee{}  (\mneg{}null(L)  =  tt))
    \mvee{}  (\mexists{}x:T.  (x  \mmember{}  L))
    \mvee{}  (x  \mmember{}  L)
    \mvee{}  (L  =  [x  /  L]))
    {}\mRightarrow{}  (((((((1  \mleq{}  ||L||)  \mwedge{}  null(L)  =  ff)  \mwedge{}  (null(L)  \msim{}  ff))  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}null(L)))  \mwedge{}  (\mneg{}(L  =  [])))
          \mwedge{}  (\mexists{}x:T.  (x  \mmember{}  L)))
          \mwedge{}  (0  \mleq{}  ||L||)))


Date html generated: 2019_06_20-PM-01_19_48
Last ObjectModification: 2018_10_01-AM-00_00_54

Theory : list_1


Home Index