Nuprl Lemma : split-at-first-rel

∀[T:Type]. ∀[R:T ⟶ T ⟶ ℙ].
  ((∀x,y:T.  Dec(R[x;y]))
  ⇒ (∀L:T List
        (∃XY:T List × (T List) [let X,Y = XY 
                                in (L = (X @ Y) ∈ (T List))
                                   ∧ (∀i:ℕ||X|| - 1. R[X[i];X[i + 1]])
                                   ∧ ((¬↑null(L)) ⇒ ((¬↑null(X)) ∧ ¬R[last(X);hd(Y)] supposing ||Y|| ≥ 1 ))])))


Proof



Definitions occuring in Statement :  last: last(L),  select: L[n],  length: ||as||,  null: null(as),  append: as @ bs,  hd: hd(l),  list: T List,  int_seg: {i..j-},  assert: ↑b,  decidable: Dec(P),  uimplies: b supposing a,  uall: ∀[x:A]. B[x],  prop: ℙ,  so_apply: x[s1;s2],  ge: i ≥ j ,  all: ∀x:A. B[x],  sq_exists: ∃x:A [B[x]],  not: ¬A,  implies: P ⇒ Q,  and: P ∧ Q,  function: x:A ⟶ B[x],  spread: spread def,  product: x:A × B[x],  subtract: n - m,  add: n + m,  natural_number: $n,  universe: Type,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  uall: ∀[x:A]. B[x],  implies: P ⇒ Q,  all: ∀x:A. B[x],  member: t ∈ T,  so_lambda: λ2x.t[x],  prop: ℙ,  and: P ∧ Q,  top: Top,  so_apply: x[s1;s2],  int_seg: {i..j-},  uimplies: b supposing a,  guard: {T},  lelt: i ≤ j < k,  decidable: Dec(P),  or: P ∨ Q,  not: ¬A,  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  exists: ∃x:A. B[x],  false: False,  uiff: uiff(P;Q),  so_apply: x[s],  subtype_rel: A ⊆r B,  ge: i ≥ j ,  sq_exists: ∃x:A [B[x]],  append: as @ bs,  so_lambda: so_lambda(x,y,z.t[x; y; z]),  so_apply: x[s1;s2;s3],  select: L[n],  nil: [],  it: ⋅,  so_lambda: λ2x y.t[x; y],  subtract: n - m,  assert: ↑b,  ifthenelse: if b then t else f fi ,  btrue: tt,  cand: A c∧ B,  true: True,  less_than: a < b,  squash: ↓T,  cons: [a / b],  bfalse: ff,  le: A ≤ B,  less_than': less_than'(a;b),  iff: P ⇐⇒ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  label: ...$L... t,  sq_type: SQType(T)
Lemmas referenced :  list_induction,  sq_exists_wf,  list_wf,  equal_wf,  append_wf,  length_wf,  length-append,  istype-void,  all_wf,  int_seg_wf,  subtract_wf,  select_wf,  int_seg_properties,  decidable__le,  full-omega-unsat,  intformand_wf,  intformnot_wf,  intformle_wf,  itermConstant_wf,  itermVar_wf,  istype-int,  int_formula_prop_and_lemma,  int_formula_prop_not_lemma,  int_formula_prop_le_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_formula_prop_wf,  decidable__lt,  add-is-int-iff,  intformless_wf,  itermSubtract_wf,  int_formula_prop_less_lemma,  int_term_value_subtract_lemma,  false_wf,  itermAdd_wf,  int_term_value_add_lemma,  not_wf,  assert_wf,  null_wf3,  subtype_rel_list,  top_wf,  istype-universe,  ge_wf,  last_wf,  hd_wf,  decidable_wf,  nil_wf,  list_ind_nil_lemma,  length_of_nil_lemma,  stuck-spread,  istype-base,  null_nil_lemma,  true_wf,  subtract-is-int-iff,  list-cases,  product_subtype_list,  cons_wf,  list_ind_cons_lemma,  length_of_cons_lemma,  null_cons_lemma,  squash_wf,  subtype_rel_self,  iff_weakening_equal,  last_cons,  assert_elim,  bfalse_wf,  btrue_neq_bfalse,  decidable__equal_int,  subtype_base_sq,  int_subtype_base,  intformeq_wf,  int_formula_prop_eq_lemma,  reduce_hd_cons_lemma,  reduce_tl_cons_lemma,  tl_wf,  length_cons_ge_one,  le_wf,  less_than_wf,  select-cons-tl,  subtract-add-cancel,  general_arith_equation1,  add-subtract-cancel,  last_singleton
Rules used in proof :  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  isect_memberFormation_alt,  lambdaFormation_alt,  cut,  thin,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalHypSubstitution,  isectElimination,  hypothesisEquality,  sqequalRule,  lambdaEquality_alt,  productEquality,  hypothesis,  because_Cache,  productElimination,  applyLambdaEquality,  isect_memberEquality_alt,  voidElimination,  natural_numberEquality,  applyEquality,  setElimination,  rename,  independent_isectElimination,  dependent_functionElimination,  unionElimination,  approximateComputation,  independent_functionElimination,  dependent_pairFormation_alt,  int_eqEquality,  independent_pairFormation,  universeIsType,  pointwiseFunctionality,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  promote_hyp,  baseApply,  closedConclusion,  baseClosed,  addEquality,  functionEquality,  isectEquality,  productIsType,  inhabitedIsType,  spreadEquality,  functionIsType,  universeEquality,  dependent_set_memberFormation_alt,  independent_pairEquality,  minusEquality,  equalityIsType2,  imageElimination,  hypothesis_subsumption,  functionIsTypeImplies,  equalityIsType1,  isectIsType,  imageMemberEquality,  instantiate,  cumulativity,  intEquality,  hyp_replacement,  dependent_set_memberEquality_alt
Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[R:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    ((\mforall{}x,y:T.    Dec(R[x;y]))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}L:T  List
                (\mexists{}XY:T  List  \mtimes{}  (T  List)  [let  X,Y  =  XY 
                                                                in  (L  =  (X  @  Y))
                                                                      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||X||  -  1.  R[X[i];X[i  +  1]])
                                                                      \mwedge{}  ((\mneg{}\muparrow{}null(L))
                                                                          {}\mRightarrow{}  ((\mneg{}\muparrow{}null(X))  \mwedge{}  \mneg{}R[last(X);hd(Y)]  supposing  ||Y||  \mgeq{}  1  ))])))


Date html generated: 2019_10_15-AM-11_13_50
Last ObjectModification: 2018_10_10-PM-02_08_48

Theory : general


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