---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma oal_umap_char


1. s : LOSet
2. g : AbDMon
3. h : AbMon
4. f : |s| ⟶ MonHom(g,h)
5. ∀k:|s|. ((∀[a1,a2:|g|].  ((f k (a1 * a2)) = ((f k a1) * (f k a2)) ∈ |h|)) ∧ ((f k e) = e ∈ |h|))
6. a1 : |oal(s;g)|
7. a2 : |oal(s;g)|
⊢ (msFor{h} k ∈ dom(a1 ++ a2)
     (f k ((a1 ++ a2)[k])))
= ((msFor{h} k ∈ dom(a1). (f k (a1[k]))) * (msFor{h} k ∈ dom(a2). (f k (a2[k]))))
∈ |h|
BY
{ % First concern is to equalize domains of sums % 
((RWH (LemmaWithC [`q',dom(a1) ⋃ dom(a2)] 
                `mset_for_dom_shift`) 0) THENA Auto) }

1
1. s : LOSet
2. g : AbDMon
3. h : AbMon
4. f : |s| ⟶ MonHom(g,h)
5. ∀k:|s|. ((∀[a1,a2:|g|].  ((f k (a1 * a2)) = ((f k a1) * (f k a2)) ∈ |h|)) ∧ ((f k e) = e ∈ |h|))
6. a1 : |oal(s;g)|
7. a2 : |oal(s;g)|
8. k : |s|
9. ↑(k
∈b (dom(a1) ⋃ dom(a2)) - dom(a1 ++ a2))
⊢ (f k ((a1 ++ a2)[k])) = e ∈ |h|

2
.....rewrite subgoal..... 
1. s : LOSet
2. g : AbDMon
3. h : AbMon
4. f : |s| ⟶ MonHom(g,h)
5. ∀k:|s|. ((∀[a1,a2:|g|].  ((f k (a1 * a2)) = ((f k a1) * (f k a2)) ∈ |h|)) ∧ ((f k e) = e ∈ |h|))
6. a1 : |oal(s;g)|
7. a2 : |oal(s;g)|
⊢ ↑(dom(a1) ⊆b (dom(a1) ⋃ dom(a2)))

3
1. s : LOSet
2. g : AbDMon
3. h : AbMon
4. f : |s| ⟶ MonHom(g,h)
5. ∀k:|s|. ((∀[a1,a2:|g|].  ((f k (a1 * a2)) = ((f k a1) * (f k a2)) ∈ |h|)) ∧ ((f k e) = e ∈ |h|))
6. a1 : |oal(s;g)|
7. a2 : |oal(s;g)|
8. k : |s|
9. ↑(k
∈b (dom(a1) ⋃ dom(a2)) - dom(a1))
⊢ (f k (a1[k])) = e ∈ |h|

4
.....rewrite subgoal..... 
1. s : LOSet
2. g : AbDMon
3. h : AbMon
4. f : |s| ⟶ MonHom(g,h)
5. ∀k:|s|. ((∀[a1,a2:|g|].  ((f k (a1 * a2)) = ((f k a1) * (f k a2)) ∈ |h|)) ∧ ((f k e) = e ∈ |h|))
6. a1 : |oal(s;g)|
7. a2 : |oal(s;g)|
⊢ ↑(dom(a2) ⊆b (dom(a1) ⋃ dom(a2)))

5
1. s : LOSet
2. g : AbDMon
3. h : AbMon
4. f : |s| ⟶ MonHom(g,h)
5. ∀k:|s|. ((∀[a1,a2:|g|].  ((f k (a1 * a2)) = ((f k a1) * (f k a2)) ∈ |h|)) ∧ ((f k e) = e ∈ |h|))
6. a1 : |oal(s;g)|
7. a2 : |oal(s;g)|
8. k : |s|
9. ↑(k
∈b (dom(a1) ⋃ dom(a2)) - dom(a2))
⊢ (f k (a2[k])) = e ∈ |h|

6
1. s : LOSet
2. g : AbDMon
3. h : AbMon
4. f : |s| ⟶ MonHom(g,h)
5. ∀k:|s|. ((∀[a1,a2:|g|].  ((f k (a1 * a2)) = ((f k a1) * (f k a2)) ∈ |h|)) ∧ ((f k e) = e ∈ |h|))
6. a1 : |oal(s;g)|
7. a2 : |oal(s;g)|
⊢ (msFor{h} k ∈ dom(a1) ⋃ dom(a2)
     (f k ((a1 ++ a2)[k])))
= ((msFor{h} k ∈ dom(a1) ⋃ dom(a2). (f k (a1[k]))) * (msFor{h} k ∈ dom(a1) ⋃ dom(a2). (f k (a2[k]))))
∈ |h|

---

Latex:

---

Latex:

1.  s  :  LOSet
2.  g  :  AbDMon
3.  h  :  AbMon
4.  f  :  |s|  {}\mrightarrow{}  MonHom(g,h)
5.  \mforall{}k:|s|.  ((\mforall{}[a1,a2:|g|].    ((f  k  (a1  *  a2))  =  ((f  k  a1)  *  (f  k  a2))))  \mwedge{}  ((f  k  e)  =  e))
6.  a1  :  |oal(s;g)|
7.  a2  :  |oal(s;g)|
\mvdash{}  (msFor\{h\}  k  \mmember{}  dom(a1  ++  a2)
          (f  k  ((a1  ++  a2)[k])))
=  ((msFor\{h\}  k  \mmember{}  dom(a1).  (f  k  (a1[k])))  *  (msFor\{h\}  k  \mmember{}  dom(a2).  (f  k  (a2[k]))))


By

---

Latex:
\%  First  concern  is  to  equalize  domains  of  sums  \% 
((RWH  (LemmaWithC  [`q',dom(a1)  \mcup{}  dom(a2)] 
                                `mset\_for\_dom\_shift`)  0)  THENA  Auto)

---

Home Index