Nuprl Lemma : mFOL_ind_wf
∀[A:Type]. ∀[R:A ⟶ mFOL() ⟶ ℙ]. ∀[v:mFOL()]. ∀[atomic:name:Atom ⟶ vars:(ℤ List) ⟶ {x:A| R[x;name(vars)]} ].
∀[connect:knd:Atom
          ⟶ left:mFOL()
          ⟶ right:mFOL()
          ⟶ {x:A| R[x;left]} 
          ⟶ {x:A| R[x;right]} 
          ⟶ {x:A| R[x;mFOconnect(knd;left;right)]} ]. ∀[quant:isall:𝔹
                                                              ⟶ var:ℤ
                                                              ⟶ body:mFOL()
                                                              ⟶ {x:A| R[x;body]} 
                                                              ⟶ {x:A| R[x;mFOquant(isall;var;body)]} ].
  (mFOL_ind(v;
            mFOatomic(name,vars)
⇒ atomic[name;vars];
            mFOconnect(knd,left,right)
⇒ rec1,rec2.connect[knd;left;right;rec1;rec2];
            mFOquant(isall,var,body)
⇒ rec3.quant[isall;var;body;rec3])  ∈ {x:A| R[x;v]} )
Proof
Definitions occuring in Statement : 
mFOL_ind: mFOL_ind, 
mFOquant: mFOquant(isall;var;body)
, 
mFOconnect: mFOconnect(knd;left;right)
, 
mFOatomic: name(vars)
, 
mFOL: mFOL()
, 
list: T List
, 
bool: 𝔹
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
prop: ℙ
, 
so_apply: x[s1;s2;s3;s4;s5]
, 
so_apply: x[s1;s2;s3;s4]
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
member: t ∈ T
, 
set: {x:A| B[x]} 
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
int: ℤ
, 
atom: Atom
, 
universe: Type
Definitions unfolded in proof : 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
member: t ∈ T
, 
mFOL_ind: mFOL_ind, 
so_apply: x[s1;s2;s3;s4]
, 
so_apply: x[s1;s2;s3;s4;s5]
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
mFOL-definition, 
mFOL-induction, 
uniform-comp-nat-induction, 
mFOL-ext, 
eq_atom: x =a y
, 
btrue: tt
, 
it: ⋅
, 
bfalse: ff
, 
bool_cases_sqequal, 
eqff_to_assert, 
any: any x
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
has-value: (a)↓
, 
so_lambda: so_lambda4, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
uimplies: b supposing a
, 
subtype_rel: A ⊆r B
, 
prop: ℙ
, 
guard: {T}
Lemmas referenced : 
mFOL-definition, 
has-value_wf_base, 
is-exception_wf, 
lifting-strict-atom_eq, 
strict4-decide, 
istype-atom, 
list_wf, 
mFOatomic_wf, 
mFOconnect_wf, 
bool_wf, 
istype-int, 
mFOquant_wf, 
mFOL_wf, 
subtype_rel_function, 
subtype_rel_self, 
istype-universe, 
mFOL-induction, 
uniform-comp-nat-induction, 
mFOL-ext, 
bool_cases_sqequal, 
eqff_to_assert
Rules used in proof : 
sqequalSubstitution, 
sqequalTransitivity, 
computationStep, 
sqequalReflexivity, 
isect_memberFormation_alt, 
cut, 
sqequalRule, 
Error :memTop, 
inhabitedIsType, 
hypothesis, 
lambdaFormation_alt, 
thin, 
sqequalSqle, 
divergentSqle, 
callbyvalueDecide, 
sqequalHypSubstitution, 
hypothesisEquality, 
unionElimination, 
sqleReflexivity, 
equalityIstype, 
equalityTransitivity, 
equalitySymmetry, 
dependent_functionElimination, 
independent_functionElimination, 
introduction, 
decideExceptionCases, 
axiomSqleEquality, 
exceptionSqequal, 
baseApply, 
closedConclusion, 
baseClosed, 
extract_by_obid, 
isectElimination, 
independent_isectElimination, 
lambdaEquality_alt, 
isectIsType, 
functionIsType, 
universeIsType, 
universeEquality, 
intEquality, 
setIsType, 
because_Cache, 
applyEquality, 
functionEquality, 
setEquality, 
instantiate, 
functionExtensionality, 
atomEquality
Latex:
\mforall{}[A:Type].  \mforall{}[R:A  {}\mrightarrow{}  mFOL()  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[v:mFOL()].  \mforall{}[atomic:name:Atom
                                                                                                                {}\mrightarrow{}  vars:(\mBbbZ{}  List)
                                                                                                                {}\mrightarrow{}  \{x:A|  R[x;name(vars)]\}  ].
\mforall{}[connect:knd:Atom
                    {}\mrightarrow{}  left:mFOL()
                    {}\mrightarrow{}  right:mFOL()
                    {}\mrightarrow{}  \{x:A|  R[x;left]\} 
                    {}\mrightarrow{}  \{x:A|  R[x;right]\} 
                    {}\mrightarrow{}  \{x:A|  R[x;mFOconnect(knd;left;right)]\}  ].  \mforall{}[quant:isall:\mBbbB{}
                                                                                                                            {}\mrightarrow{}  var:\mBbbZ{}
                                                                                                                            {}\mrightarrow{}  body:mFOL()
                                                                                                                            {}\mrightarrow{}  \{x:A|  R[x;body]\} 
                                                                                                                            {}\mrightarrow{}  \{x:A| 
                                                                                                                                    R[x;mFOquant(isall;var;body)]\}  ].
    (mFOL\_ind(v;
                        mFOatomic(name,vars){}\mRightarrow{}  atomic[name;vars];
                        mFOconnect(knd,left,right){}\mRightarrow{}  rec1,rec2.connect[knd;left;right;rec1;rec2];
                        mFOquant(isall,var,body){}\mRightarrow{}  rec3.quant[isall;var;body;rec3])    \mmember{}  \{x:A|  R[x;v]\}  )
Date html generated:
2020_05_20-AM-09_08_09
Last ObjectModification:
2020_01_23-PM-05_34_40
Theory : minimal-first-order-logic
Home
Index