Nuprl Lemma : wellfounded-minimal-field
∀[T:Type]. ∀[R:T ⟶ T ⟶ ℙ].
  (WellFnd{i}(T;x,y.R x y)
  
⇒ (∀x,y:T.  Dec(R x y))
  
⇒ (∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) 
⇒ (x ∈ L)))
  
⇒ (∀y:T. ∃x:T. (((R^*) x y) ∧ (∀z:T. (¬(R z x))))))
Proof
Definitions occuring in Statement : 
l_member: (x ∈ l)
, 
list: T List
, 
rel_star: R^*
, 
wellfounded: WellFnd{i}(A;x,y.R[x; y])
, 
decidable: Dec(P)
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
prop: ℙ
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
not: ¬A
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
and: P ∧ Q
, 
apply: f a
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
universe: Type
Definitions unfolded in proof : 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
member: t ∈ T
, 
true: True
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
and: P ∧ Q
, 
cand: A c∧ B
, 
not: ¬A
, 
false: False
, 
prop: ℙ
, 
subtype_rel: A ⊆r B
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
so_lambda: λ2x y.t[x; y]
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
infix_ap: x f y
Lemmas referenced : 
wellfounded-minimal, 
true_wf, 
decidable__true, 
rel_star_wf, 
all_wf, 
not_wf, 
exists_wf, 
list_wf, 
l_member_wf, 
decidable_wf, 
wellfounded_wf, 
rel-rel-plus
Rules used in proof : 
sqequalSubstitution, 
sqequalTransitivity, 
computationStep, 
sqequalReflexivity, 
isect_memberFormation, 
lambdaFormation, 
cut, 
lemma_by_obid, 
sqequalHypSubstitution, 
isectElimination, 
thin, 
because_Cache, 
hypothesisEquality, 
lambdaEquality, 
hypothesis, 
independent_functionElimination, 
sqequalRule, 
dependent_functionElimination, 
natural_numberEquality, 
productElimination, 
dependent_pairFormation, 
independent_pairFormation, 
voidElimination, 
applyEquality, 
productEquality, 
universeEquality, 
functionEquality, 
cumulativity
Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[R:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    (WellFnd\{i\}(T;x,y.R  x  y)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:T.    Dec(R  x  y))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}y:T.  \mexists{}L:T  List.  \mforall{}x:T.  ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L)))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}y:T.  \mexists{}x:T.  ((rel\_star(T;  R)  x  y)  \mwedge{}  (\mforall{}z:T.  (\mneg{}(R  z  x))))))
Date html generated:
2016_05_15-PM-04_52_29
Last ObjectModification:
2015_12_27-PM-02_32_42
Theory : general
Home
Index