Nuprl Lemma : arith-example2

∀f:ℤ ⟶ ℤ. ∀a,b:ℤ.
  ((a = b ∈ ℤ)
  ⇒ (∀x,y,z:ℤ.
        (((f a) ≤ x)
        ⇒ (x ≤ (f b))
        ⇒ (((x - 1) ≤ y) ∧ (y ≤ ((f b) + 1)))
        ⇒ ((((f b) - 1) ≤ z) ∧ (z ≤ (x + 1)))
        ⇒ (((y - 1) ≤ z) ∧ (z ≤ (y + 1)))
        ⇒ (((x = y ∈ ℤ) ∨ (x = z ∈ ℤ)) ∨ (y = z ∈ ℤ)))))


Proof



Definitions occuring in Statement :  le: A ≤ B,  all: ∀x:A. B[x],  implies: P ⇒ Q,  or: P ∨ Q,  and: P ∧ Q,  apply: f a,  function: x:A ⟶ B[x],  subtract: n - m,  add: n + m,  natural_number: $n,  int: ℤ,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  all: ∀x:A. B[x],  implies: P ⇒ Q,  and: P ∧ Q,  member: t ∈ T,  prop: ℙ,  uall: ∀[x:A]. B[x],  subtype_rel: A ⊆r B,  or: P ∨ Q,  le: A ≤ B,  uimplies: b supposing a,  subtract: n - m,  top: Top,  uiff: uiff(P;Q),  not: ¬A,  less_than': less_than'(a;b),  true: True,  false: False,  iff: P ⇐⇒ Q,  decidable: Dec(P),  rev_implies: P ⇐ Q,  guard: {T}
Lemmas referenced :  le_wf,  subtract_wf,  equal-wf-base,  int_subtype_base,  false_wf,  or_wf,  condition-implies-le,  add-associates,  minus-one-mul,  add-swap,  minus-one-mul-top,  add_functionality_wrt_le,  add-commutes,  le-add-cancel2,  minus-add,  minus-minus,  le-add-cancel,  le-add-cancel3,  and_wf,  equal_wf,  decidable__int_equal,  not-equal-2
Rules used in proof :  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  lambdaFormation,  sqequalHypSubstitution,  productElimination,  thin,  productEquality,  cut,  introduction,  extract_by_obid,  isectElimination,  hypothesisEquality,  natural_numberEquality,  hypothesis,  addEquality,  applyEquality,  functionExtensionality,  intEquality,  sqequalRule,  functionEquality,  because_Cache,  unionElimination,  independent_isectElimination,  lambdaEquality,  isect_memberEquality,  voidElimination,  voidEquality,  minusEquality,  independent_functionElimination,  equalitySymmetry,  dependent_set_memberEquality,  independent_pairFormation,  applyLambdaEquality,  setElimination,  rename,  equalityTransitivity,  dependent_functionElimination,  inlFormation,  inrFormation,  addLevel,  orFunctionality
Latex:
\mforall{}f:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}a,b:\mBbbZ{}.
    ((a  =  b)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y,z:\mBbbZ{}.
                (((f  a)  \mleq{}  x)
                {}\mRightarrow{}  (x  \mleq{}  (f  b))
                {}\mRightarrow{}  (((x  -  1)  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  ((f  b)  +  1)))
                {}\mRightarrow{}  ((((f  b)  -  1)  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  (x  +  1)))
                {}\mRightarrow{}  (((y  -  1)  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  (y  +  1)))
                {}\mRightarrow{}  (((x  =  y)  \mvee{}  (x  =  z))  \mvee{}  (y  =  z)))))


Date html generated: 2017_04_14-AM-07_16_31
Last ObjectModification: 2017_02_27-PM-02_51_51

Theory : arithmetic


Home Index