Nuprl Lemma : howard-bar-rec-equal-spector

∀[M,mon,base,ind:Top]. ∀[n:ℕ]. ∀[s:Top].
  (howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n;s) ~ spector-bar-rec(λn,s. if M n s then 0 else n + 1 fi ;λn,s. case M n s
                                                                                               of inl(x) =>
                                                                                               let k,p = x 
                                                                                               in base n s (mon n k s p)
                                                                                               | inr(x) =>
                                                                                               ⊥;ind;n;s))


Proof



Definitions occuring in Statement :  howard-bar-rec: howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n;s),  spector-bar-rec: spector-bar-rec(Y;G;H;n;s),  nat: ℕ,  bottom: ⊥,  ifthenelse: if b then t else f fi ,  uall: ∀[x:A]. B[x],  top: Top,  apply: f a,  lambda: λx.A[x],  spread: spread def,  decide: case b of inl(x) => s[x] | inr(y) => t[y],  add: n + m,  natural_number: $n,  sqequal: s ~ t
Definitions unfolded in proof :  member: t ∈ T,  uall: ∀[x:A]. B[x],  howard-bar-rec: howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n;s),  spector-bar-rec: spector-bar-rec(Y;G;H;n;s),  nat_plus: ℕ+,  prop: ℙ,  and: P ∧ Q,  top: Top,  all: ∀x:A. B[x],  exists: ∃x:A. B[x],  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  not: ¬A,  uimplies: b supposing a,  ge: i ≥ j ,  false: False,  implies: P ⇒ Q,  nat: ℕ,  so_apply: x[s],  so_lambda: λ2x.t[x],  subtype_rel: A ⊆r B,  ifthenelse: if b then t else f fi ,  has-value: (a)↓,  iff: P ⇐⇒ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  assert: ↑b,  bnot: ¬bb,  guard: {T},  sq_type: SQType(T),  or: P ∨ Q,  bfalse: ff,  uiff: uiff(P;Q),  btrue: tt,  it: ⋅,  unit: Unit,  bool: 𝔹,  decidable: Dec(P),  lt_int: i <z j,  le_int: i ≤z j,  squash: ↓T,  true: True,  less_than': less_than'(a;b),  less_than: a < b
Lemmas referenced :  top_wf,  nat_wf,  fun_exp_unroll_1,  subtract-1-ge-0,  base_wf,  bottom-sqle,  strictness-apply,  fun_exp0_lemma,  less_than_wf,  ge_wf,  int_formula_prop_wf,  int_formula_prop_less_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_formula_prop_le_lemma,  istype-void,  int_formula_prop_and_lemma,  istype-int,  intformless_wf,  itermVar_wf,  itermConstant_wf,  intformle_wf,  intformand_wf,  full-omega-unsat,  nat_properties,  is-exception_wf,  le_wf,  set_subtype_base,  int_subtype_base,  has-value_wf_base,  int_formula_prop_not_lemma,  intformnot_wf,  assert_wf,  iff_weakening_uiff,  assert-bnot,  bool_wf,  subtype_base_sq,  bool_cases_sqequal,  bool_subtype_base,  eqff_to_assert,  assert_of_le_int,  eqtt_to_assert,  le_int_wf,  int_term_value_add_lemma,  itermAdd_wf,  iff_weakening_equal,  false_wf,  iff_functionality_wrt_iff,  bfalse_wf,  iff_imp_equal_bool,  decidable__le,  int-value-type,  union-value-type,  value-type-has-value,  assert_of_lt_int,  lt_int_wf,  istype-less_than,  not-exception-has-value,  set-value-type
Rules used in proof :  extract_by_obid,  Error :universeIsType,  Error :isectIsTypeImplies,  isectElimination,  Error :isect_memberEquality_alt,  hypothesisEquality,  Error :inhabitedIsType,  axiomSqEquality,  hypothesis,  sqequalHypSubstitution,  sqequalSqle,  thin,  sqequalRule,  cut,  introduction,  Error :isect_memberFormation_alt,  sqequalReflexivity,  computationStep,  sqequalTransitivity,  sqequalSubstitution,  because_Cache,  Error :dependent_set_memberEquality_alt,  Error :functionIsTypeImplies,  axiomSqleEquality,  independent_pairFormation,  voidElimination,  dependent_functionElimination,  int_eqEquality,  Error :lambdaEquality_alt,  Error :dependent_pairFormation_alt,  independent_functionElimination,  approximateComputation,  independent_isectElimination,  natural_numberEquality,  Error :lambdaFormation_alt,  intWeakElimination,  rename,  setElimination,  fixpointLeast,  intEquality,  applyEquality,  baseClosed,  closedConclusion,  baseApply,  divergentSqle,  Error :equalityIsType1,  unionElimination,  equalitySymmetry,  equalityTransitivity,  callbyvalueDecide,  cumulativity,  instantiate,  promote_hyp,  Error :equalityIsType4,  sqleReflexivity,  productElimination,  equalityElimination,  addEquality,  sqleRule,  decideExceptionCases,  exceptionSqequal,  exceptionLess,  callbyvalueLess,  unionEquality,  imageElimination,  imageMemberEquality,  lessCases,  lessExceptionCases,  Error :equalityIsType2
Latex:
\mforall{}[M,mon,base,ind:Top].  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[s:Top].
    (howard-bar-rec(M;mon;base;ind;n;s) 
    \msim{}  spector-bar-rec(\mlambda{}n,s.  if  M  n  s  then  0  else  n  +  1  fi  ;\mlambda{}n,s.  case  M  n  s
                                                                                                                      of  inl(x)  =>
                                                                                                                      let  k,p  =  x 
                                                                                                                      in  base  n  s  (mon  n  k  s  p)
                                                                                                                      |  inr(x)  =>
                                                                                                                      \mbot{};ind;n;s))


Date html generated: 2019_06_20-PM-03_07_00
Last ObjectModification: 2019_02_01-PM-05_19_38

Theory : continuity


Home Index