Nuprl Lemma : sum-as-accum-filter

∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].
  (Σ(f[x] | x < n) ~ accumulate (with value x and list item y):
                      x + y
                     over list:
                       filter(λx.(¬b(x =z 0));map(λx.f[x];upto(n)))
                     with starting value:
                      0))


Proof



Definitions occuring in Statement :  upto: upto(n),  sum: Σ(f[x] | x < k),  filter: filter(P;l),  map: map(f;as),  list_accum: list_accum,  int_seg: {i..j-},  nat: ℕ,  bnot: ¬bb,  eq_int: (i =z j),  uall: ∀[x:A]. B[x],  so_apply: x[s],  lambda: λx.A[x],  function: x:A ⟶ B[x],  add: n + m,  natural_number: $n,  int: ℤ,  sqequal: s ~ t
Definitions unfolded in proof :  uall: ∀[x:A]. B[x],  member: t ∈ T,  uimplies: b supposing a,  so_lambda: λ2x.t[x],  so_apply: x[s],  nat: ℕ,  all: ∀x:A. B[x],  implies: P ⇒ Q,  prop: ℙ,  sq_type: SQType(T),  guard: {T},  so_lambda: λ2x y.t[x; y],  so_apply: x[s1;s2],  top: Top,  bool: 𝔹,  unit: Unit,  it: ⋅,  btrue: tt,  uiff: uiff(P;Q),  and: P ∧ Q,  bnot: ¬bb,  ifthenelse: if b then t else f fi ,  bfalse: ff,  exists: ∃x:A. B[x],  or: P ∨ Q,  assert: ↑b,  false: False,  squash: ↓T,  true: True,  subtype_rel: A ⊆r B,  iff: P ⇐⇒ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  int_seg: {i..j-},  ge: i ≥ j ,  lelt: i ≤ j < k,  decidable: Dec(P),  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  not: ¬A
Lemmas referenced :  subtype_base_sq,  int_subtype_base,  sum-as-accum,  int_seg_wf,  upto_wf,  list_wf,  equal_wf,  nat_wf,  list_induction,  all_wf,  list_accum_wf,  map_wf,  filter_wf5,  l_member_wf,  bnot_wf,  eq_int_wf,  map_nil_lemma,  list_accum_nil_lemma,  filter_nil_lemma,  map_cons_lemma,  list_accum_cons_lemma,  filter_cons_lemma,  bool_wf,  eqtt_to_assert,  assert_of_eq_int,  eqff_to_assert,  bool_cases_sqequal,  bool_subtype_base,  assert-bnot,  neg_assert_of_eq_int,  squash_wf,  true_wf,  iff_weakening_equal,  int_seg_properties,  nat_properties,  decidable__equal_int,  satisfiable-full-omega-tt,  intformand_wf,  intformnot_wf,  intformeq_wf,  itermAdd_wf,  itermVar_wf,  itermConstant_wf,  int_formula_prop_and_lemma,  int_formula_prop_not_lemma,  int_formula_prop_eq_lemma,  int_term_value_add_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_formula_prop_wf
Rules used in proof :  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  isect_memberFormation,  introduction,  cut,  thin,  instantiate,  extract_by_obid,  sqequalHypSubstitution,  isectElimination,  cumulativity,  intEquality,  independent_isectElimination,  hypothesis,  sqequalRule,  hypothesisEquality,  lambdaEquality,  applyEquality,  functionExtensionality,  natural_numberEquality,  setElimination,  rename,  because_Cache,  lambdaFormation,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  dependent_functionElimination,  independent_functionElimination,  sqequalAxiom,  functionEquality,  isect_memberEquality,  addEquality,  setEquality,  voidElimination,  voidEquality,  unionElimination,  equalityElimination,  productElimination,  dependent_pairFormation,  promote_hyp,  imageElimination,  universeEquality,  imageMemberEquality,  baseClosed,  int_eqEquality,  independent_pairFormation,  computeAll
Latex:
\mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
    (\mSigma{}(f[x]  |  x  <  n)  \msim{}  accumulate  (with  value  x  and  list  item  y):
                                            x  +  y
                                          over  list:
                                              filter(\mlambda{}x.(\mneg{}\msubb{}(x  =\msubz{}  0));map(\mlambda{}x.f[x];upto(n)))
                                          with  starting  value:
                                            0))


Date html generated: 2017_04_17-AM-08_25_41
Last ObjectModification: 2017_02_27-PM-04_47_54

Theory : list_1


Home Index