Nuprl Lemma : sum-as-accum-filter
∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].
  (Σ(f[x] | x < n) ~ accumulate (with value x and list item y):
                      x + y
                     over list:
                       filter(λx.(¬b(x =z 0));map(λx.f[x];upto(n)))
                     with starting value:
                      0))
Proof
Definitions occuring in Statement : 
upto: upto(n)
, 
sum: Σ(f[x] | x < k)
, 
filter: filter(P;l)
, 
map: map(f;as)
, 
list_accum: list_accum, 
int_seg: {i..j-}
, 
nat: ℕ
, 
bnot: ¬bb
, 
eq_int: (i =z j)
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
lambda: λx.A[x]
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
add: n + m
, 
natural_number: $n
, 
int: ℤ
, 
sqequal: s ~ t
Definitions unfolded in proof : 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
member: t ∈ T
, 
uimplies: b supposing a
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
nat: ℕ
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
prop: ℙ
, 
sq_type: SQType(T)
, 
guard: {T}
, 
so_lambda: λ2x y.t[x; y]
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
top: Top
, 
bool: 𝔹
, 
unit: Unit
, 
it: ⋅
, 
btrue: tt
, 
uiff: uiff(P;Q)
, 
and: P ∧ Q
, 
bnot: ¬bb
, 
ifthenelse: if b then t else f fi 
, 
bfalse: ff
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
or: P ∨ Q
, 
assert: ↑b
, 
false: False
, 
squash: ↓T
, 
true: True
, 
subtype_rel: A ⊆r B
, 
iff: P 
⇐⇒ Q
, 
rev_implies: P 
⇐ Q
, 
int_seg: {i..j-}
, 
ge: i ≥ j 
, 
lelt: i ≤ j < k
, 
decidable: Dec(P)
, 
satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla)
, 
not: ¬A
Lemmas referenced : 
subtype_base_sq, 
int_subtype_base, 
sum-as-accum, 
int_seg_wf, 
upto_wf, 
list_wf, 
equal_wf, 
nat_wf, 
list_induction, 
all_wf, 
list_accum_wf, 
map_wf, 
filter_wf5, 
l_member_wf, 
bnot_wf, 
eq_int_wf, 
map_nil_lemma, 
list_accum_nil_lemma, 
filter_nil_lemma, 
map_cons_lemma, 
list_accum_cons_lemma, 
filter_cons_lemma, 
bool_wf, 
eqtt_to_assert, 
assert_of_eq_int, 
eqff_to_assert, 
bool_cases_sqequal, 
bool_subtype_base, 
assert-bnot, 
neg_assert_of_eq_int, 
squash_wf, 
true_wf, 
iff_weakening_equal, 
int_seg_properties, 
nat_properties, 
decidable__equal_int, 
satisfiable-full-omega-tt, 
intformand_wf, 
intformnot_wf, 
intformeq_wf, 
itermAdd_wf, 
itermVar_wf, 
itermConstant_wf, 
int_formula_prop_and_lemma, 
int_formula_prop_not_lemma, 
int_formula_prop_eq_lemma, 
int_term_value_add_lemma, 
int_term_value_var_lemma, 
int_term_value_constant_lemma, 
int_formula_prop_wf
Rules used in proof : 
sqequalSubstitution, 
sqequalTransitivity, 
computationStep, 
sqequalReflexivity, 
isect_memberFormation, 
introduction, 
cut, 
thin, 
instantiate, 
extract_by_obid, 
sqequalHypSubstitution, 
isectElimination, 
cumulativity, 
intEquality, 
independent_isectElimination, 
hypothesis, 
sqequalRule, 
hypothesisEquality, 
lambdaEquality, 
applyEquality, 
functionExtensionality, 
natural_numberEquality, 
setElimination, 
rename, 
because_Cache, 
lambdaFormation, 
equalityTransitivity, 
equalitySymmetry, 
dependent_functionElimination, 
independent_functionElimination, 
sqequalAxiom, 
functionEquality, 
isect_memberEquality, 
addEquality, 
setEquality, 
voidElimination, 
voidEquality, 
unionElimination, 
equalityElimination, 
productElimination, 
dependent_pairFormation, 
promote_hyp, 
imageElimination, 
universeEquality, 
imageMemberEquality, 
baseClosed, 
int_eqEquality, 
independent_pairFormation, 
computeAll
Latex:
\mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
    (\mSigma{}(f[x]  |  x  <  n)  \msim{}  accumulate  (with  value  x  and  list  item  y):
                                            x  +  y
                                          over  list:
                                              filter(\mlambda{}x.(\mneg{}\msubb{}(x  =\msubz{}  0));map(\mlambda{}x.f[x];upto(n)))
                                          with  starting  value:
                                            0))
Date html generated:
2017_04_17-AM-08_25_41
Last ObjectModification:
2017_02_27-PM-04_47_54
Theory : list_1
Home
Index