Nuprl Lemma : ip-five-segment-lemma

∀[rv:InnerProductSpace]. ∀[A,B,C,D:Point(rv)]. ∀[t:ℝ].
  ((t ∈ (r0, r1))
  ⇒ B ≡ t*A + r1 - t*C
  ⇒ let a = ||D - B|| in
      let b = ||A - D|| in
      let c = ||B - C|| in
      let d = ||A - B|| in
      let x = ||D - C|| in
      let s = (t/t - r1) in
      x^2 = (c^2 + a^2 + (s * (b^2 - d^2 + a^2))))


Proof



Definitions occuring in Statement :  rv-norm: ||x||,  rv-sub: x - y,  inner-product-space: InnerProductSpace,  rv-mul: a*x,  rv-add: x + y,  rooint: (l, u),  i-member: r ∈ I,  rdiv: (x/y),  rnexp: x^k1,  rsub: x - y,  req: x = y,  rmul: a * b,  radd: a + b,  int-to-real: r(n),  real: ℝ,  let: let,  uall: ∀[x:A]. B[x],  implies: P ⇒ Q,  natural_number: $n
Definitions unfolded in proof :  let: let,  all: ∀x:A. B[x],  member: t ∈ T,  top: Top,  uall: ∀[x:A]. B[x],  implies: P ⇒ Q,  and: P ∧ Q,  iff: P ⇐⇒ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  subtype_rel: A ⊆r B,  guard: {T},  uimplies: b supposing a,  prop: ℙ,  nat: ℕ,  le: A ≤ B,  less_than': less_than'(a;b),  not: ¬A,  false: False,  rneq: x ≠ y,  or: P ∨ Q,  uiff: uiff(P;Q),  req_int_terms: t1 ≡ t2,  rev_uimplies: rev_uimplies(P;Q),  rv-sub: x - y,  rv-minus: -x,  true: True,  squash: ↓T,  rdiv: (x/y)
Lemmas referenced :  member_rooint_lemma,  istype-void,  radd-preserves-rless,  rsub_wf,  int-to-real_wf,  Error :ss-eq_wf,  real-vector-space_subtype1,  inner-product-space_subtype,  subtype_rel_transitivity,  inner-product-space_wf,  real-vector-space_wf,  Error :separation-space_wf,  rv-add_wf,  rv-mul_wf,  rless_wf,  req_witness,  rnexp_wf,  istype-le,  rv-norm_wf,  rv-sub_wf,  radd_wf,  rmul_wf,  rdiv_wf,  rless-implies-rless,  real_wf,  Error :ss-point_wf,  itermSubtract_wf,  itermAdd_wf,  itermConstant_wf,  itermVar_wf,  rv-ip_wf,  req-iff-rsub-is-0,  rless_functionality,  real_polynomial_null,  istype-int,  real_term_value_sub_lemma,  real_term_value_add_lemma,  real_term_value_const_lemma,  real_term_value_var_lemma,  req_functionality,  rv-norm-squared,  radd_functionality,  rmul_functionality,  req_weakening,  rsub_functionality,  rv-minus_wf,  rv-0_wf,  itermMultiply_wf,  uiff_transitivity,  Error :ss-eq_functionality,  Error :ss-eq_weakening,  rv-add-assoc,  rv-add_functionality,  rv-mul-add-1-alt,  rv-add-comm,  rv-add-swap,  rv-mul_functionality,  rv-mul0,  rv-add-0,  rv-ip_functionality,  rv-mul-linear,  rv-mul-mul,  rv-mul-add-alt,  req_transitivity,  rv-0-add,  real_term_value_mul_lemma,  rv-ip-add-squared,  rv-ip-sub-squared,  rminus_wf,  itermMinus_wf,  real_term_value_minus_lemma,  rv-ip-symmetry,  rminus-as-rmul,  req_wf,  req_inversion,  rv-ip-mul,  squash_wf,  true_wf,  subtype_rel_self,  iff_weakening_equal,  Error :ss-eq_transitivity,  rv-sub_functionality,  rless_transitivity2,  rleq_weakening,  rdiv_functionality,  rinv_wf2,  rv-mul-add,  rinv-mul-as-rdiv,  rminus_functionality,  rmul-int,  rmul_preserves_req,  rmul-rinv,  equal_wf,  istype-universe,  iff_weakening_uiff
Rules used in proof :  sqequalSubstitution,  sqequalRule,  sqequalReflexivity,  sqequalTransitivity,  computationStep,  cut,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalHypSubstitution,  dependent_functionElimination,  thin,  isect_memberEquality_alt,  voidElimination,  hypothesis,  isect_memberFormation_alt,  lambdaFormation_alt,  productElimination,  isectElimination,  hypothesisEquality,  natural_numberEquality,  because_Cache,  independent_functionElimination,  universeIsType,  applyEquality,  instantiate,  independent_isectElimination,  productIsType,  lambdaEquality_alt,  dependent_set_memberEquality_alt,  independent_pairFormation,  setElimination,  rename,  inhabitedIsType,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  closedConclusion,  inlFormation_alt,  functionIsTypeImplies,  isectIsTypeImplies,  approximateComputation,  int_eqEquality,  minusEquality,  equalityIstype,  imageElimination,  imageMemberEquality,  baseClosed,  universeEquality,  multiplyEquality
Latex:
\mforall{}[rv:InnerProductSpace].  \mforall{}[A,B,C,D:Point(rv)].  \mforall{}[t:\mBbbR{}].
    ((t  \mmember{}  (r0,  r1))
    {}\mRightarrow{}  B  \mequiv{}  t*A  +  r1  -  t*C
    {}\mRightarrow{}  let  a  =  ||D  -  B||  in
            let  b  =  ||A  -  D||  in
            let  c  =  ||B  -  C||  in
            let  d  =  ||A  -  B||  in
            let  x  =  ||D  -  C||  in
            let  s  =  (t/t  -  r1)  in
            x\^{}2  =  (c\^{}2  +  a\^{}2  +  (s  *  (b\^{}2  -  d\^{}2  +  a\^{}2))))


Date html generated: 2020_05_20-PM-01_13_54
Last ObjectModification: 2019_12_11-PM-07_59_19

Theory : inner!product!spaces


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