Nuprl Lemma : iseg-remainder-as-filter

∀[T:Type]. ∀[R:T ⟶ T ⟶ ℙ]. ∀[sa,s,sb:T List].
  (∀[dR:T ⟶ T ⟶ 𝔹]
     (sb = filter(dR last(sa);s) ∈ (T List)) supposing ((¬↑null(sa)) and (∀x,y:T.  (↑(dR x y) ⇐⇒ R x y)))) supposing 
     (Trans(T;a,b.R a b) and 
     sorted-by(R;s) and 
     (s = (sa @ sb) ∈ (T List)) and 
     AntiSym(T;x,y.R x y) and 
     Irrefl(T;x,y.R x y))


Proof



Definitions occuring in Statement :  sorted-by: sorted-by(R;L),  last: last(L),  null: null(as),  filter: filter(P;l),  append: as @ bs,  list: T List,  irrefl: Irrefl(T;x,y.E[x; y]),  anti_sym: AntiSym(T;x,y.R[x; y]),  trans: Trans(T;x,y.E[x; y]),  assert: ↑b,  bool: 𝔹,  uimplies: b supposing a,  uall: ∀[x:A]. B[x],  prop: ℙ,  all: ∀x:A. B[x],  iff: P ⇐⇒ Q,  not: ¬A,  apply: f a,  function: x:A ⟶ B[x],  universe: Type,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  uall: ∀[x:A]. B[x],  member: t ∈ T,  all: ∀x:A. B[x],  uimplies: b supposing a,  implies: P ⇒ Q,  iseg: l1 ≤ l2,  exists: ∃x:A. B[x],  prop: ℙ,  subtype_rel: A ⊆r B,  top: Top,  so_lambda: λ2x.t[x],  so_apply: x[s],  so_lambda: λ2x y.t[x; y],  so_apply: x[s1;s2],  not: ¬A,  false: False,  guard: {T},  irrefl: Irrefl(T;x,y.E[x; y]),  set-equal: set-equal(T;x;y),  iff: P ⇐⇒ Q,  and: P ∧ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  cand: A c∧ B,  or: P ∨ Q,  l_member: (x ∈ l),  squash: ↓T,  int_seg: {i..j-},  nat: ℕ,  lelt: i ≤ j < k,  ge: i ≥ j ,  decidable: Dec(P),  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  less_than: a < b,  true: True,  subtract: n - m,  sq_type: SQType(T),  uiff: uiff(P;Q),  assert: ↑b,  ifthenelse: if b then t else f fi ,  btrue: tt,  cons: [a / b],  bfalse: ff,  le: A ≤ B,  less_than': less_than'(a;b),  last: last(L),  sorted-by: sorted-by(R;L),  anti_sym: AntiSym(T;x,y.R[x; y])
Lemmas referenced :  member-iseg-sorted-by,  equal_wf,  list_wf,  append_wf,  not_wf,  assert_wf,  null_wf3,  subtype_rel_list,  top_wf,  all_wf,  iff_wf,  bool_wf,  trans_wf,  sorted-by_wf,  subtype_rel_dep_function,  l_member_wf,  subtype_rel_self,  set_wf,  anti_sym_wf,  irrefl_wf,  sorted-by-strict-unique,  filter_wf5,  last_wf,  member_filter,  member_append,  squash_wf,  true_wf,  select_append_back,  length_wf,  nat_properties,  decidable__le,  satisfiable-full-omega-tt,  intformand_wf,  intformnot_wf,  intformle_wf,  itermVar_wf,  itermAdd_wf,  itermConstant_wf,  int_formula_prop_and_lemma,  int_formula_prop_not_lemma,  int_formula_prop_le_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_term_value_add_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_formula_prop_wf,  decidable__lt,  intformless_wf,  int_formula_prop_less_lemma,  lelt_wf,  iff_weakening_equal,  add-associates,  minus-one-mul,  add-swap,  add-mul-special,  zero-mul,  add-zero,  subtype_base_sq,  int_subtype_base,  select_wf,  add_nat_wf,  length_wf_nat,  nat_wf,  add-is-int-iff,  intformeq_wf,  int_formula_prop_eq_lemma,  false_wf,  length-append,  less_than_wf,  list-cases,  length_of_nil_lemma,  null_nil_lemma,  product_subtype_list,  length_of_cons_lemma,  null_cons_lemma,  not-lt-2,  condition-implies-le,  minus-add,  zero-add,  minus-one-mul-top,  add-commutes,  add_functionality_wrt_le,  le-add-cancel,  subtract_wf,  itermSubtract_wf,  int_term_value_subtract_lemma,  select_append_front,  and_wf,  sorted-by-filter,  sublist_append2,  sublist_wf,  sublist-sorted-by
Rules used in proof :  cut,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  isect_memberFormation,  hypothesis,  sqequalHypSubstitution,  isectElimination,  thin,  hypothesisEquality,  dependent_functionElimination,  independent_isectElimination,  independent_functionElimination,  dependent_pairFormation,  cumulativity,  applyEquality,  lambdaEquality,  isect_memberEquality,  voidElimination,  voidEquality,  because_Cache,  sqequalRule,  axiomEquality,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  functionExtensionality,  functionEquality,  instantiate,  universeEquality,  setEquality,  setElimination,  rename,  lambdaFormation,  addLevel,  productElimination,  independent_pairFormation,  impliesFunctionality,  andLevelFunctionality,  productEquality,  inrFormation,  hyp_replacement,  applyLambdaEquality,  dependent_set_memberEquality,  imageElimination,  addEquality,  unionElimination,  natural_numberEquality,  int_eqEquality,  intEquality,  computeAll,  imageMemberEquality,  baseClosed,  pointwiseFunctionality,  promote_hyp,  baseApply,  closedConclusion,  hypothesis_subsumption,  minusEquality
Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[R:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[sa,s,sb:T  List].
    (\mforall{}[dR:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}]
          (sb  =  filter(dR  last(sa);s))  supposing 
                ((\mneg{}\muparrow{}null(sa))  and 
                (\mforall{}x,y:T.    (\muparrow{}(dR  x  y)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  R  x  y))))  supposing 
          (Trans(T;a,b.R  a  b)  and 
          sorted-by(R;s)  and 
          (s  =  (sa  @  sb))  and 
          AntiSym(T;x,y.R  x  y)  and 
          Irrefl(T;x,y.R  x  y))


Date html generated: 2018_05_21-PM-06_47_12
Last ObjectModification: 2017_07_26-PM-04_56_33

Theory : general


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