Nuprl Lemma : prec-ext
∀[P:Type]. ∀[a:Atom ⟶ P ⟶ ((P + P + Type) List)]. ∀[i:P].
  prec(lbl,p.a[lbl;p];i) ≡ labl:{lbl:Atom| 0 < ||a[lbl;i]||}  × tuple-type(map(λx.case x
                                                    of inl(y) =>
                                                    case y
                                                     of inl(p) =>
                                                     prec(lbl,p.a[lbl;p];p)
                                                     | inr(p) =>
                                                     prec(lbl,p.a[lbl;p];p) List
                                                    | inr(E) =>
                                                    E;a[labl;i]))
Proof
Definitions occuring in Statement : 
prec: prec(lbl,p.a[lbl; p];i)
, 
tuple-type: tuple-type(L)
, 
length: ||as||
, 
map: map(f;as)
, 
list: T List
, 
ext-eq: A ≡ B
, 
less_than: a < b
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
set: {x:A| B[x]} 
, 
lambda: λx.A[x]
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
product: x:A × B[x]
, 
decide: case b of inl(x) => s[x] | inr(y) => t[y]
, 
union: left + right
, 
natural_number: $n
, 
atom: Atom
, 
universe: Type
Definitions unfolded in proof : 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
member: t ∈ T
, 
ext-family: F ≡ G
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
ptuple: ptuple(lbl,p.a[lbl; p];X)
, 
ext-eq: A ≡ B
, 
and: P ∧ Q
, 
subtype_rel: A ⊆r B
, 
so_lambda: λ2x y.t[x; y]
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
so_apply: x[s]
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
prop: ℙ
, 
pi2: snd(t)
, 
pi1: fst(t)
, 
prec: prec(lbl,p.a[lbl; p];i)
, 
guard: {T}
, 
nat: ℕ
, 
uimplies: b supposing a
, 
top: Top
, 
has-value: (a)↓
, 
bfalse: ff
, 
ifthenelse: if b then t else f fi 
, 
btrue: tt
, 
unit: Unit
, 
bool: 𝔹
, 
less_than': less_than'(a;b)
, 
squash: ↓T
, 
less_than: a < b
, 
sq_type: SQType(T)
, 
it: ⋅
, 
nil: []
, 
colength: colength(L)
, 
decidable: Dec(P)
, 
cons: [a / b]
, 
or: P ∨ Q
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla)
, 
not: ¬A
, 
ge: i ≥ j 
, 
false: False
, 
tuple-sum: tuple-sum(f;L;x)
, 
add-sz: add-sz(sz;L;x)
, 
map: map(f;as)
, 
list_ind: list_ind, 
le: A ≤ B
, 
cand: A c∧ B
, 
int_seg: {i..j-}
, 
lelt: i ≤ j < k
, 
null: null(as)
, 
istype: istype(T)
, 
uiff: uiff(P;Q)
, 
reduce: reduce(f;k;as)
, 
l_sum: l_sum(L)
, 
sq_stable: SqStable(P)
, 
iff: P 
⇐⇒ Q
, 
true: True
Lemmas referenced : 
pcorec-ext, 
prec_wf, 
istype-atom, 
istype-less_than, 
length_wf, 
tuple-type_wf, 
map_wf, 
list_wf, 
istype-universe, 
pi1_wf, 
pcorec_wf, 
less_than_wf, 
pi2_wf, 
subtype_rel_weakening, 
ext-eq_inversion, 
pcorec-size_wf, 
int-value-type, 
istype-int, 
le_wf, 
set-value-type, 
nat_wf, 
has-value_wf-partial, 
istype-void, 
unroll-pcorec-size, 
add-sz_wf, 
termination, 
has-value_wf_base, 
value-type-has-value, 
int_subtype_base, 
set_subtype_base, 
partial_subtype_base, 
istype-nat, 
null_wf, 
null-map, 
tupletype_cons_lemma, 
map_cons_lemma, 
int_term_value_add_lemma, 
int_term_value_subtract_lemma, 
itermAdd_wf, 
itermSubtract_wf, 
subtract_wf, 
decidable__equal_int, 
spread_cons_lemma, 
int_formula_prop_eq_lemma, 
intformeq_wf, 
subtype_base_sq, 
subtract-1-ge-0, 
istype-le, 
int_formula_prop_not_lemma, 
intformnot_wf, 
decidable__le, 
colength_wf_list, 
colength-cons-not-zero, 
product_subtype_list, 
unit_wf2, 
nil_wf, 
tupletype_nil_lemma, 
map_nil_lemma, 
list-cases, 
ge_wf, 
int_formula_prop_wf, 
int_formula_prop_less_lemma, 
int_term_value_var_lemma, 
int_term_value_constant_lemma, 
int_formula_prop_le_lemma, 
int_formula_prop_and_lemma, 
intformless_wf, 
itermVar_wf, 
itermConstant_wf, 
intformle_wf, 
intformand_wf, 
full-omega-unsat, 
nat_properties, 
bool_subtype_base, 
bool_wf, 
null_cons_lemma, 
subtype_partial_sqtype_base, 
add-zero, 
l_sum_cons_lemma, 
l_sum_nil_lemma, 
cons_wf, 
partial_wf, 
l_sum-wf-partial-nat, 
null_nil_lemma, 
subtype_rel-equal, 
btrue_neq_bfalse, 
nat-partial-nat, 
istype-false, 
add-wf-partial-nat, 
select-map, 
subtype_rel_tuple-type, 
map-length, 
length_wf_nat, 
int_seg_wf, 
subtype_rel_list, 
top_wf, 
select_wf, 
int_seg_properties, 
decidable__lt, 
is-exception_wf, 
subtype_rel_dep_function, 
add-has-value-iff, 
sq_stable__has-value, 
iff_weakening_equal, 
subtype_rel_self, 
add_functionality_wrt_eq, 
istype-base, 
true_wf, 
squash_wf, 
zero-add
Rules used in proof : 
cut, 
introduction, 
extract_by_obid, 
sqequalSubstitution, 
sqequalTransitivity, 
computationStep, 
sqequalReflexivity, 
Error :isect_memberFormation_alt, 
hypothesis, 
sqequalHypSubstitution, 
isectElimination, 
thin, 
hypothesisEquality, 
dependent_functionElimination, 
sqequalRule, 
independent_pairFormation, 
Error :lambdaEquality_alt, 
Error :universeIsType, 
applyEquality, 
Error :inhabitedIsType, 
Error :productIsType, 
Error :setIsType, 
natural_numberEquality, 
instantiate, 
unionEquality, 
cumulativity, 
universeEquality, 
equalityTransitivity, 
equalitySymmetry, 
Error :lambdaFormation_alt, 
unionElimination, 
Error :equalityIstype, 
independent_functionElimination, 
Error :unionIsType, 
setElimination, 
rename, 
productElimination, 
independent_pairEquality, 
axiomEquality, 
Error :functionIsType, 
Error :dependent_pairEquality_alt, 
atomEquality, 
setEquality, 
applyLambdaEquality, 
productEquality, 
because_Cache, 
intEquality, 
independent_isectElimination, 
Error :dependent_set_memberEquality_alt, 
voidElimination, 
Error :isect_memberEquality_alt, 
closedConclusion, 
baseApply, 
baseClosed, 
callbyvalueAdd, 
equalityElimination, 
imageElimination, 
hypothesis_subsumption, 
promote_hyp, 
sqequalBase, 
Error :functionIsTypeImplies, 
int_eqEquality, 
Error :dependent_pairFormation_alt, 
approximateComputation, 
intWeakElimination, 
addEquality, 
sqleReflexivity, 
divergentSqle, 
axiomSqleEquality, 
imageMemberEquality
Latex:
\mforall{}[P:Type].  \mforall{}[a:Atom  {}\mrightarrow{}  P  {}\mrightarrow{}  ((P  +  P  +  Type)  List)].  \mforall{}[i:P].
    prec(lbl,p.a[lbl;p];i)  \mequiv{}  labl:\{lbl:Atom|  0  <  ||a[lbl;i]||\}    \mtimes{}  tuple-type(map(\mlambda{}x.case  x
                                                                                                        of  inl(y)  =>
                                                                                                        case  y
                                                                                                          of  inl(p)  =>
                                                                                                          prec(lbl,p.a[lbl;p];p)
                                                                                                          |  inr(p)  =>
                                                                                                          prec(lbl,p.a[lbl;p];p)  List
                                                                                                        |  inr(E)  =>
                                                                                                        E;a[labl;i]))
Date html generated:
2019_06_20-PM-02_04_53
Last ObjectModification:
2019_03_28-PM-02_51_54
Theory : tuples
Home
Index